Álgebra linear

Álgebra linear é um ramo da matemática que surgiu do estudo detalhado de sistemas de equações lineares, sejam elas algébricas ou diferenciais. A álgebra linear utiliza alguns conceitos e estruturas fundamentais da matemática como vetores, espaços vetoriais, transformações lineares, sistemas de equações lineares e matrizes.

História

Muitas das ferramentas básicas da álgebra linear, particularmente aquelas relacionadas com a solução de sistemas de equações lineares, datam da antiguidade, como a eliminação gaussiana, citada pela primeira vez por volta do século II d.c., embora muitas dessas ferramentas não tenham sido isoladas e consideradas separadamente até os séculos XVII e XVIII. O método dos mínimos quadrados, usado pela primeira vez por Carl Friedrich Gauss no final do século XVIII, é uma aplicação inicial e significante das ideias da álgebra linear.

O assunto começou a tomar sua forma atual em meados do século XIX, que viu muitas noções e métodos de séculos anteriores abstraídas e generalizadas como o início da álgebra abstrata. Matrizes e tensores foram introduzidos como objetos matemáticos abstratos e bem estudados na virada do século XX. O uso de tais objetos na relatividade geral, estatística e mecânica quântica fez muito para espalhar o assunto para além da matemática pura.

Sistemas de equações lineares

Um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares nas mesmas variáveis. Uma equação linear nas incógnitas x₁,x₂,...,x_n é uma equação que pode se colocada na forma de equação abaixo:

a na seguinte forma padrão.

a₁x₁+ a₂x₂+ ... + a_nx_n= b

Dizemos que a constante a_k é o coeficiente de x_k e b é o termo constante da equação.^[1]

Geometria analítica

A geometria analítica, também pode ser chamada geometria de coordenadas e que antigamente recebia o nome de geometria cartesiana, é o estudo da geometria através dos princípios da álgebra. Em geral, é usado o sistema de coordenadas cartesianas para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, mas por vezes também em três ou mais dimensões. Alguns pensam que a introdução da geometria analítica constituiu o início da matemática moderna. Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês René Descartes (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas.

Espaços vetoriais

Espaços vetoriais são um tema central na matemática moderna; assim, a álgebra linear é largamente usada em álgebra abstrata e análise funcional. A álgebra linear também tem sua representação concreta em geometria analítica.

Transformação linear

Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da álgebra abstrata, uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.

Teoremas fundamentais

Teorema do Núcleo e da Imagem
Teorema Espectral
Teorema dos Valores Singulares
Teorema de Cayley-Hamilton
Todo espaço vetorial possui uma base.^[2]
Quaisquer duas bases do espaço vetorial têm a mesma cardinalidade; equivalentemente, a dimensão de um espaço vetorial é bem definido.^[3]
Uma matriz quadrada é inversível se e somente se seu determinante for diferente de zero.^[4]
A matriz é inversível se e somente se a transformação linear representada pela matriz é um isomorfismo.

Aplicações

Referências

↑ Silva, Wahl (2020). O essencial da álgebra linear. Brasil: Editora S.L.W. p. 28. 30 páginas
↑ The existence of a basis is straightforward for finitely generated vector spaces, but in full generality it is logically equivalent to the axiom of choice.
↑ Dimension theorem for vector spaces
↑ «Cópia arquivada». Consultado em 10 de fevereiro de 2010. Arquivado do original em 30 de janeiro de 2010

Ver também

Wikilivros

O Wikilivros tem um livro chamado Álgebra linear

Livros online

J. Santos, Reginaldo, Introdução à Álgebra Linear
Álgebra Lineal: Conceptos Básicos
Introducción al Álgebra Lineal en Contexto por José Arturo Barreto
Beezer, Rob, A First Course in Linear Algebra
Zani, Sérgio L., "Álgebra Linear"
Malajovich, Gregório, "Álgebra Linear"
Pellegrini, Jerônimo C., "Álgebra Linear"
Treil, Sergei, "Linear Algebra Done Wrong"
Connell, Edwin H., Elements of Abstract and Linear Algebra
Hefferon, Jim, Linear Algebra
Matthews, Keith, Elementary Linear Algebra
Sharipov, Ruslan, Course of linear algebra and multidimensional geometry

Ligações externas

Calculadora online para solucionar um sistema de equações usando a regra de Cramer

[1] Silva, Wahl (2020). O essencial da álgebra linear. Brasil: Editora S.L.W. p. 28. 30 páginas

[2] The existence of a basis is straightforward for finitely generated vector spaces, but in full generality it is logically equivalent to the axiom of choice.

[3] Dimension theorem for vector spaces

[4] «Cópia arquivada». Consultado em 10 de fevereiro de 2010. Arquivado do original em 30 de janeiro de 2010

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v d e Tópicos principais sobre álgebra
Geral	Álgebra elementar Álgebra abstrata Álgebra comutativa Teoria da ordem Teoria das categorias K-Teoria
Estruturas algébricas	Grupo – Teoria dos grupos Anel – Teoria dos anéis Corpo – Teoria dos corpos Álgebra universal
Álgebra linear	Teoria de matrizes Vetor – Espaço vetorial Produto interno – Espaço com produto interno Espaço de Hilbert

v d e Tópicos relacionados com álgebra linear
Conceitos básicos	Escalar Vetor Espaço vetorial Projeção de um vetor Espaço vetorial gerado Transformação linear Projeção Independência linear Combinação linear Base Espaço coluna Espaço linha Espaço dual Ortogonalidade Núcleo Valor próprio Método dos mínimos quadrados Produto diádico Espaço com produto interno Produto escalar Transposição Processo de Gram-Schmidt Sistema de equações lineares
Matrizes	Matriz Produto de matrizes Decomposição LU Menor Posto matricial Regra de Cramer Matriz inversa Eliminação de Gauss Matriz de transformação Matriz em bloco Matriz unimodular
Álgebra linear numérica	Vírgula flutuante Estabilidade numérica BLAS Matriz esparsa Comparação de bibliotecas de álgebra linear Comparação de softwares de análise numérica