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Análise não padronizada

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(Redirecionado de Análise não-standard)
Gottfried Wilhelm Leibniz, por Bernhard Francke.

Análise não padronizada é um ramo da matemática desenvolvido desde 1960 para abordar o conceito de infinitesimal de maneira rigorosa. Para isso, um novo conceito é introduzido, o objeto padrão (ou padronizado) e objeto não padrão (ou não padronizado), ou mais precisamente modelo padrão ou teoria dos modelos. Pode-se, então, apresentar os principais resultados de análise matemática de uma forma mais intuitiva que a análise usual.[1][2][3]

Definições Básicas

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Nesta seção, construiremos o corpo hiper-real . Seja o corpo dos números reais (padrão) e seja o semianel dos números naturais. O conjunto de todas as sequências de números reais com operações ponto-a-ponto não forma um corpo, mas obteremos o corpo dos hiperreais a partir deste conjunto da seguinte forma. Tome um ultrafiltro livre em isto é, é tal que

  1. ;
  2. subconjutno finito de

Estabelece-se que duas sequências de números reais and são equivalentes, , se existe um membro do ultrafiltro em que as sequências coincidam: . Isto equivale a dizer que o conjunto de indices em que elas são iguais está no ultrafiltro, . A relação é de fato de equivalência; a transitividade se deve ao axioma 2 de ultrafiltro e à inclusão . Assim, definem-se os números reais não-padrão ou números hiperreais como , isto é, quocientando o conjunto das sequências pela relação de coincidirem em um membro do ultrafitro. Chama-se a esta construção feita de construção por ultrapotências ( é o ultraproduto de uma cópia de para cada número natural com respeito a um ultrafiltro dos naturais que contém todos os conjuntos cofinitos). Definem-se as operações em por meio das operações ponto-a-ponto nos representantes. Denotando a classe de uma sequência em como , põe-se:

Observe que os números reais padrão estão mergulhados em como as imagens das sequências constantes.

Definem-se também o módulo de um número hiperreal como . Estende-se para a relação de ordem de pondo . Verifica-se que todas essas definições se comportam como esperado para os números padrão vistos dentro do conjunto dos hiperreais.

Tome um número não-padrão . Diz-se que

  • é um infinitésimo ou um número infinitesimal se para todo natural padrão ;
  • é um número finito ou limitado se para todo natural padrão ;
  • é um número infinito ou ilimitado se para todo natural padrão .


Referências

  1. Nonstandard Analysis in Practice. Edited by Francine Diener, Marc Diener. Springer, 1995.
  2. Nonstandard Analysis, Axiomatically. By V. Vladimir Grigorevich Kanovei, Michael Reeken. Springer, 2004.
  3. Nonstandard Analysis for the Working Mathematician. Edited by Peter A. Loeb, Manfred P. H. Wolff. Springer, 2000.
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