Cardinais regulares e singulares

Em matemática, especialmente em teoria de conjuntos, um cardinal é denominado regular se ele é igual a sua própria cofinalidade. Caso contrário, é dito singular.

Definições e exemplos

Se abreviarmos cofinalidade de $x$ como ${\mbox{cf}}(x)$, podemos generalizar a definição acima para ordinais dizendo que $\alpha$ é regular se ${\mbox{cf}}(\alpha )=\alpha$ e singular se ${\mbox{cf}}(\alpha )<\alpha$, pois ${\mbox{cf}}(\alpha )$ ≤ $\alpha$ vale para todo ordinal. De maneira equivalente, podemos definir que um cardinal $\kappa$ é singular se resulta da união de uma quantidade menor que $\kappa$ de conjuntos cada um dos quais tem também cardinalidade menor que $\kappa$:

$\kappa =\bigcup _{\alpha <\beta }(A_{\alpha }){\mbox{ tais que }}\beta <\kappa {\mbox{ e }}\left|A_{\alpha }\right|<\kappa {\mbox{ para cada }}\alpha <\beta$

Por exemplo, $\aleph _{\omega }$ é singular pois:

$\aleph _{\omega }=\bigcup _{n<\omega }\aleph _{n}=\aleph _{0}\cup \aleph _{1}\cup \dots \cup \aleph _{n}\cup \dots \;\;$

ou seja, $\aleph _{\omega }$ é a união de $\omega =\aleph _{0}$ conjuntos, cada um dos quais tem cardinalidade menor que $\aleph _{\omega }$.

Por outro lado, $\omega$ é regular, pois ${\mbox{cf}}(\omega )=\omega$. Além disso, a união de uma quantidade finita de conjuntos finitos é um conjunto finito.

Cardinais regulares e o axioma da escolha

Na teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel mais o axioma da escolha, denominada ZFC, pode ser demonstrado que a união enumerável de conjuntos enumeráveis é enumerável e portanto $\aleph _{1}$ é regular. Sem o axioma da escolha, ${\mbox{cf}}(\aleph _{1})=\omega$ (que implica que $\aleph _{1}$ é singular) é consistente com ZF, se ZF é consistente.

Em ZFC é demonstrado que todo cardinal da forma $\aleph _{\alpha +1}$ (denominado cardinal sucessor) é regular. Um cardinal infinito que não é sucessor é denominado cardinal limite e em $\aleph _{\alpha }$ temos que $\alpha ={\mbox{0}}$ ou $\alpha$ é um ordinal limite. Em ZFC não pode ser demonstrada a existência de cardinais limites regulares diferentes de $\omega$, se ZFC é consistente.

Bibliografia

• Hrbacek, Karen; Jech, Thomas (1999). Introduction to set theory (em inglês) 3a. ed. New York: Marcel Dekker 

• Jech, Thomas (1999). «About the Axiom of Choice». In: Barwise, Jon. Handbook of mathematical logic (em inglês). Amsterdam: Elsevier. p. 345−370 

• Jech, Thomas (2006). Set theory (em inglês) 3a. ed. Berlin: Springer. ISBN 3-540-44085-2 

• Kunen, Kenneth (1980). Set theory: an introduction to independence proofs (em inglês). Amsterdam: Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 

• Levy, Azriel (2002). Basic set theory (em inglês). Mineola, New York: Dover