A desigualdade de Cauchy-Schwarz para números reais é outra forma de escrever a desigualdade conhecida entre vetores. O nome é dado em homenagem aos matemáticos Augustin Cauchy e Hermann Amandus Schwarz.
A desigualdade para o caso de números reais assegura que, dados n reais
e n reais
, se tem
em que a igualdade ocorre se e somente se os
e
forem proporcionais, ou seja
,
,...,
,
Para algum
pertencente aos reais.
Considere a função
Como
, segue que
Abrindo os quadrados e explicitando os coeficientes:
Calculando o discriminante:
Da conclusão acima, segue o resultado:
.
.
UMA DESIGUALDADE MUITO ÚTIL: A DE CAUCHY–SCHWARTZ por Benedito Tadeu V. Freire e José Maria Gomes - AULA Nº 02 – 2010.
Antonio Caminha Muniz Neto,(2013), Tópicos de Matemática Elementar Volume 1 Números Reais, 2ª Edição, Editora SBM.