A distância euclidiana em duas dimensões.
Em matemática, distância euclidiana é a distância entre dois pontos, que pode ser provada pela aplicação repetida do teorema de Pitágoras. Aplicando essa fórmula como distância, o espaço euclidiano torna-se um espaço métrico.
A distância euclidiana entre os pontos
e
num espaço euclidiano n-dimensional, é definida como:
![{\displaystyle {\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(p_{i}-q_{i})^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/347a4b535ffd805ffdf332e51905bcdf4764f663)
Para pontos unidimensionais,
e
a distância é computada como:
![{\displaystyle {\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}}}=|p_{x}-q_{x}|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/899bd753bdfe8e8a3c65765bafd9ace974648f33)
O valor absoluto é usado já que a distância é normalmente considerada um valor escalar sem sinal.
Para pontos bidimensionais,
e
a distância é computada como:
![{\displaystyle {\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc9875dc0835d5630c027cb5eceee9aa04c06c58)
Alternativamente, expressando-se em coordenadas polares, usando
e
a distância é computada como:
![{\displaystyle {\sqrt {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c749e7296a1a2521e0f8b91a4078b8128c54e465)
Tenha em mente que a distância euclidiana no plano cartesiano, portanto bidimensional, equivale à hipotenusa (
) no Teorema de Pitágoras.
Exemplo: dadas as coordenadas p1 (400, 60) e p2 (300, 50), então, a distância euclidiana entre elas é
![{\displaystyle {\sqrt {(400-300)^{2}+(60-50)^{2}}}={\sqrt {10025}}=100,1249.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/095226289533257a5bbd441b62e3cdf8d22caeb6)
Para pontos tridimensionais,
e
a distância é computada como:
![{\displaystyle {\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}+(p_{z}-q_{z})^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2e7c6a99bd9824869d5dc98b0a784b2a787fbd6)
Para pontos n-dimensionais,
e
a distância é computada como:
![{\displaystyle {\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+...+(p_{n}-q_{n})^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fc5f1a8017644522a397e3324f9a2a9b732618f)