Equação de Kadomtsev–Petviashvili
Em matemática e física, a equação de Kadomtsev–Petviashvili – ou equação de KP, nomeadas em homenagem a Boris Borissovitch Kadomtsev e Vladimir Iosifovich Petviashvili – é uma equação diferencial parcial que descreve o movimento não-linear de ondas. A equação de KP é geralmente escrita como:
onde . A expressão acima mostra que a equação de KP é a generalização de duas dimensões espaciais, x e y, da equação unidimensional da equação de Korteweg–de Vries. Para ter algum significado físico, a direção de propagação da onda tem que ser não muito longe da direção x, ou seja, apenas com variações lentas de soluções no sentido y.
Assim como a equação de KdV, a equação de KP é completamente integrável. Ela pode ser resolvida utilizando transformada inversa de espalhamento de modo semelhante a equação de Schrödinger não linear.
História
[editar | editar código-fonte]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/RIAN_archive_151311_Russian_physicist_Boris_Kadomtsev.jpg/180px-RIAN_archive_151311_Russian_physicist_Boris_Kadomtsev.jpg)
A equação de KP foi escrita pela primeira vez em 1970 pelos físicos soviéticos Boris Kadomtsev (1928–1998) e Vladimir I. Petviashvili (1936–1993); ela veio como uma generalização natural da equação de KdV (derivada por Korteweg e De Vries em 1895). Enquanto as ondas da equação de KdV são estritamente unidimensionais, na equação de KP essa restrição é relaxada. Mesmo assim, em ambas equações as ondas devem viajar no sentido positivo da direção x.
Conexões com a física
[editar | editar código-fonte]A equação de KP pode ser usada para modelar ondas de água de comprimento de onda grande com forças restauradoras e frequências de dispersão porco fracamente não lineares. Se a tensão superficial é fraca em comparação com forças gravitacionais, é utilizado; se a tensão superficial é forte, então . Devido à assimetria no modo de que x e y entram na equação, as ondas descritas pela equação de KP se comportam diferentemente na direção de propagação (direção x) e na direção transversa (y); oscilações na direção y tendem a ser mais suaves.
A equação KP também pode ser utilizado para modelar ondas em meios ferromagnéticos, bem como pulsos bidimensionais de onda de matéria em condensados de condensado de Bose-Einstein.
Valores limites
[editar | editar código-fonte]Para , oscilações típicas dependentes de x possuem comprimento de onda de dando origem a um regime limite singular . O limite é chamado de limite não dispersivo.
Se também assumirmos que as soluções são independentes de y como , então ela também satisfaz a equação de Burgers:
Supondo que a amplitude de oscilações de uma solução é assintoticamente pequena — — no limite não dispersivo, então a amplitude satisfaz a equação de campo médio do tipo Davey–Stewartson.
Referências
[editar | editar código-fonte]- B. B. Kadomtsev, V. I. Petviashvili (1970). «On the stability of solitary waves in weakly dispersive media». Sov. Phys. Dokl. 15: 539–541. Bibcode:1970SPhD...15..539K. Tradução de «Об устойчивости уединенных волн в слабо диспергирующих средах». Doklady Akademii Nauk SSSR. 192: 753–756
- Previato, Emma (2001), «K/k120110», in: Hazewinkel, Michiel, Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer
Ligações externas
[editar | editar código-fonte]- Weisstein, Eric W. «Kadomtsev–Petviashvili equation». MathWorld (em inglês)
- Kadomtsev–Petviashvili equation at Scholarpedia, curadoria por Gioni Biondini e Dmitri Pelinovsky.
- Bernard Deconinck. «The KP page». University of Washington, Department of Applied Mathematics. Consultado em 9 de julho de 2014. Arquivado do original em 6 de fevereiro de 2006