Em matemática, os espaços
, são espaços vetoriais normados cujos vetores são sequências de números pertencentes a um corpo
onde
ou
. Espaços
são exemplos de espaços vetoriais de dimensão infinita.
- Uma sequência
é dita pertencer ao espaço
se for p-somável, ou seja:
.
- Uma sequência
é dita pertencer ao espaço
se for limitada, ou seja:
.
A desigualdade de Minkowski garante que estes espaços são lineares e que a norma está bem definida, satisfazendo seus axiomas.
A estrutura de espaço vetorial é gerada definindo a soma de elementos e a multiplicação por escalar da seguinte maneira:
![{\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n},a_{n+1},\dots )+(b_{1},b_{2},...,b_{n},b_{n+1},\dots )=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},...,a_{n}+b_{n},a_{n+1}+b_{n+1},\dots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e5943fbb98a8e17f20e2a8808647442049feefb)
.
Todas as sequências
pertencentes a
, convergem a zero, o que não é necessariamente verdade para sequências em
, por exemplo, a sequência constante
é limitada mas
, logo
.
Espaços
são espaços de Banach para qualquer
e o único espaço
que é um espaço de Hilbert é
, que é dotado do produto interno
.
Para
, os espaços
são separáveis, mas
não é separável.
Os espaços
crescem à medida que
cresce, isto é, se
, então
.
O espaço das sequências convergentes é denotado por
, e, como toda sequência convergente é limitada,
é um subespaço linear de
e além disso temos que
é um subespaço fechado de
e portanto um espaço de Banach.
O espaço
é o espaço das sequências convergentes a zero, é facil notar que
é um subespaço de
e portanto também é um subespaço linear de
. Também é um subespaço fechado e portanto de Banach
é o subespaço linear de
formado pelas sequências eventualmente nulas, ou seja, para
, existe
tal que se
.
não é um subespaço fechado com relação a norma
, pois para a sequência
é de Cauchy mas
converge para
que não pertence à
.
Se
, então o espaço dual topológico de
é isometricamente isomorfo a
onde
é o conjugado de Lebesgue de
, ou seja
. O isomorfismo
definido por
.
Pela desigualdade de Hölder temos que
, e definido a norma em
por
.
Temos que
,e portanto,
é um operador limitado e
![{\displaystyle \Psi (\lambda x^{1}+x^{2})=L_{(\lambda x^{1}+x^{2})}(y)=\sum _{n}(\lambda x_{n}^{1}+x_{n}^{2})y_{n}=\lambda \sum _{n}x_{n}^{1}y_{n}+\sum _{n}x_{n}^{2}y_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f34fd3bdf18e76e72207224a5fc6571009fdf23)
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é linear.
Seja
, então os funcionais pertencentes ao espaço dual
são da forma:
, para algum
associado a
.
- Kreyzig, Erwin (1978), Introductory Functional Analysis with Applications, ISBN 0-471-50731-8, John Wiley & Sons, Inc.
- Dieudonné, Jean Alexandre (1983), History of Functional Analysis, ISBN 0-444-86148-3, North-Holland Publishing Company