Em análise matemática, define-se a variação total de uma função
em um intervalo
como:
![{\displaystyle {\hbox{var}}_{[a,b]}(f)=\sup \sum _{i}\left|f(x_{i})-f(x_{i-1})\right|\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/596c9b6f8062f9659e9fc404eeac91c5da72f802)
As variações positiva e negativa de uma função
em um intervalo
são definidas, respectivamente, como:
![{\displaystyle {\hbox{var}}_{[a,b]}^{+}(f)=\sup \sum _{(+)}\left|f(x_{i})-f(x_{i-1})\right|\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d554dcae28eb9014ef4b684bcf02f0b06bc43d73)
![{\displaystyle {\hbox{var}}_{[a,b]}^{-}(f)=\sup \sum _{(-)}-\left|f(x_{i})-f(x_{i-1})\right|\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75e778a004c9e308b7c3f49ba9f874bed764d8e2)
Em todos os casos o supremo é tomado sob todas as possíveis partições
do intervalo
,
significa para todo
tal que
e
significa para todo
tal que
.
1. Se
é um função monótona, então:
![{\displaystyle {\hbox{var}}_{[a,b]}(f)=\left|f(a)-f(b)\right|\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d5912f2b75beeb4e2f399b4d75b9c725a2bf9b9)
2. Se
uma função real, então:
, sempre que
.
3. Se
e
são funções reais, vale
,
4. Se
uma função real, então:
,
5. Se
uma função real, então:
,
1.
.
2.
.
Diz-se que uma função real
é de variação limitada em um intervalo
se e somente se, para qualquer
vale que:
![{\displaystyle {\hbox{var}}_{[a,b]}(\alpha f)<\infty \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78117bb7386a2ed36f9eede6c0056d2e7da6e4db)
Funções crescentes em um intervalo
são de variação limitada neste intervalo.
Se
é um função crescente em
, então
.
Uma função
é de variação limitada em
se, e somente se,
é a diferença entre duas funções crescentes limitadas.
Se
, com
crescentes e limitadas, então
.
Por outro lado, se
é devariação limitada em
, então considere
e
. Obviamente
e
são funções crescentes e limitadas. Com isto temos que
.
Seja
uma função de classe
, então:
![{\displaystyle {\hbox{var}}_{[a,b]}(f)=\int _{a}^{b}|f'(x)|dx\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fc8a642ed17c72d7d85af189c4624806df6fbbc)
A continuidade, no entanto, não garante que a função seja de variação limitada, um contra-exemplo é:
![{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{ll}x\cos \left({\frac {\pi }{x}}\right),&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/257d1eb04ff54ffbade9f0987e92fa23edab8cbc)
Esta função é contínua mas não é de variação limitada no intervalo
. Para provar isso considere o seguintes pontos:
![{\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n+1}},\quad f(x_{n})={\frac {1}{n+1}}(-1)^{n},n=0,1,2,\ldots \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1adef4fac973af5e00ffa11f6348a45ac1de8367)
Assim
![{\displaystyle \left|f(x_{n})-f(x_{n-1})\right|={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n}}>1/n,n=1,2,3,\ldots \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bcf4d40832c04965c9803d7f1bbea73fe8b5eb5)
Portanto,
A seguinte integral
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)d\gamma (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fab37d006bba26ce3558474c88572d6cbb52c49)
é bem conhecida quando temos
. Além disso, é sabido que, na verdade, é suficiente exigir que
seja uma função crescente. Porém, note agora que é suficiente exigir que
seja um função de variação limitada, pois neste caso temos que
,
onde
e
são funções crescentes e limitadas.
Portanto, temos que
.
- Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2007), Real Analysis, Princeton University .