Operador pseudodiferencial

Um operador pseudo-diferencial é uma generalização do conceito de operador diferencial. É uma parte fundamental da teoria das equações diferenciais parciais. Os fundamentos da teoria foram desenvolvidos por Lars Hörmander.

Motivação

Operadores diferenciais lineares com coeficientes constantes

Seja o operador diferencial linear com coeficientes constantes

$P(D):=\sum _{\alpha }a_{\alpha }\,D^{\alpha }$

operando sobre o espaço das funções infinitamente contínuas com suporte compacto em $\mathbb {R} ^{n}$. Pode ser expresso como a composição de uma Transformada de Fourier, uma multiplicação com o polinômio

$P(\xi )=\sum _{\alpha }a_{\alpha }\,\xi ^{\alpha }$

e a transformada de Fourier inversa

$(1)\quad P(D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i(x-y)\xi }P(\xi )u(y)dyd\xi$,

sendo

$\alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} _{0}^{n}$ um índice múltiplo, $D^{\alpha }=(-i\partial _{1})^{\alpha _{1}}\dots (-i\partial _{n})^{\alpha _{n}}$ um operador diferencial, sendo $\partial _{j}$ a derivada parcial em relação à j-ésima variável e $a_{\alpha }\,$ são números complexos.

De forma análoga um operador pseudo-diferencial $P(x,D)$ sobre $\mathbb {R} ^{n}$ é um operador da forma

$(2)\quad P(x,D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i(x-y)\xi }P(x,\xi )u(y)dyd\xi$,

com uma função generalizada $P$ no integrando, como a seguir discutido.

Dedução da fórmula (1)

A transformada de Fourier de uma função infinitamente diferenciável $u$, com suporte compacto em $\mathbb {R} ^{n}$, é

${\hat {u}}(\xi ):=\int e^{-iy\xi }u(y)dy$

e a transformada de Fourier inversa fornece

$u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int e^{ix\xi }{\hat {u}}(\xi )d\xi ={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int \int e^{i(x-y)\xi }u(y)dyd\xi$ .

Aplicando $P(D)$ sobre esta representação de $u$ e utilizando

$P(D_{x})\,e^{i(x-y)\xi }=e^{i(x-y)\xi }\,P(\xi )$

resulta em (1).

Representação de soluções de equações diferenciais parciais

A fim de resolver uma equação diferencial

$P(D)\,u=f$

é aplicada nos dois lados uma transformada de Fourier, resultando uma equação algébrica

$P(\xi )\,{\hat {u}}(\xi )={\hat {f}}(\xi )$ .

Caso o símbolo $P(\xi )$ não seja nulo para $\xi \in \mathbb {R} ^{n}$, podemos dividir por $P(\xi )$

${\hat {u}}(\xi )={\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )$ .

Aplicando a transformada inversa obtemos a solução

$u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int e^{ix\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )d\xi$.

Na obten deste resultado as seguintes condições foram observadas:

1. $P(D)$ é um operador diferencial linear com coeficientes constantes,
2. seu símbolo $P(\xi )$ não é nulo,
3. a transformada de Fourier de u e f é definida.

A última condição pode ser enfraquecida utilizando a Teoria das distribuições. As duas primeiras condições podem ser enfraquecidas como segue. Na última fórmula substitui-se a transformada de Fourier de f:

$u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int \int e^{i(x-y)\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}f(y)dyd\xi$.

Isto é semelhante à formula (1), só que aqui ${\frac {1}{P(\xi )}}$ não é um polinômio, e sim uma função generalizada.

Definição formal

Classe de símbolos

Se $P(x,\xi )$ é uma função infinitamente diferenciável sobre $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$ com

$|\partial _{\xi }^{\alpha }\partial _{x}^{\beta }P(x,\xi )|\leq C_{\alpha ,\beta }\,(1+|\xi |)^{m-|\alpha |}$

para todo $x,\xi$, todo multi-índice $\alpha ,\beta$, uma constante $C_{\alpha ,\beta }$ e números reais m, então P pertence à classe de símbolos $S_{1,0}^{m}$.

Operadores pseudo-diferenciais

Seja P uma função infinitamente diferenciável da classe de símbolos $S_{1,0}^{m}$. Um operador pseudo-diferencial de ordem m é definido por

$P(x,D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i(x-y)\xi }P(x,\xi )u(y)dyd\xi .$

O conjunto dos operadores pseudo-diferenciais de ordem m é denotado por $\Psi _{1,0}^{m}$.

Bibliografia

• Michael E. Taylor, Pseudodifferential Operators, Princeton Univ. Press 1981, ISBN 0-691-08282-0
• ders. Partial differential equations, Bd. 1,2, Springer 1996, 1997, Bd.1 ISBN 0387946535, Bd.2 ISBN 0387946519
• M. A. Shubin Pseudodifferential Operators and Spectral Theory, Springer 2001. ISBN 3-540-41195-X
• Francois Treves Introduction to Pseudo Differential and Fourier Integral Operators, Plenum 1981. ISBN 0-306-40404-4
• F. G. Friedlander, M. Joshi Introduction to the Theory of Distributions, Cambridge University Press 1999. ISBN 0-521-64971-4
• José García-Cuerva Fourier Analysis and Partial Differential Equations, CRC Press 1995. ISBN 084937877X

Ligações externas

• Mark Joshi, Lições sobre Operadores Pseudo-Diferenciais (em inglês)
• Jörg Seiler, Apostila sobre Operadores Pseudo-Diferenciais (em alemão)