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Transformação linear

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(Redirecionado de Operadores lineares)
A reflexão em torno do eixo Oy é um exemplo de transformação linear.

Em álgebra linear, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e o contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da álgebra abstrata, uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.

Definição e consequências imediatas

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Sejam e espaços vetoriais sobre o mesmo corpo

Diz-se que uma função é uma transformação linear se, para quaisquer e valem as relações:[1]

  • a função de em definida por
  • a função de em definida por
  • a função de em definida por
  • se for o espaço das funções deriváveis de em , e se for o espaço de todas as funções de em , então a derivação (isto é, a função de em que envia cada função na sua derivada) é linear.

Em contrapartida, se , então a função de em definida por não é uma transformação linear.

Se for uma função de um espaço vetorial num espaço vetorial então afirmar que é linear equivale a afirmar que preserva combinações lineares de pares de vetores, isto é, para quaisquer dois vetores  ∈  e dois escalares  ∈ 

Para qualquer aplicação linear de em , tem-se:

  • pois
  • se  ∈  então pois

Função linear

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Uma função linear

Função linear é a função matemática que possui duas propriedades:

  • Aditividade:

  • Homogeneidade:

Em suma:

As funções lineares são funções cujo gráfico é uma recta que atravessa a origem do plano cartesiano, isto é, em que b=0.

Chama-se função linear à função definida por uma equação da forma em que é um número real.

  • é a variável dependente e a variável independente;
  • é o coeficiente angular.

Nota: geralmente os economistas chamam a qualquer reta da forma uma função linear. No entanto, o conceito puro matemático, requer que a ordenada na origem seja zero para que a função seja considerada linear. Quando é diferente de zero, passa-se a chamar de função afim.

Ver artigo principal: Aplicação linear

A definição mais geral de função linear é feita no contexto da álgebra linear, e depende do conceito de espaço vetorial.

Sejam espaços vetoriais. Uma função é uma função linear se ela satisfaz os seguintes axiomas:

Note-se que, quando não existe possibilidade de confusão, escreve-se + e . para as somas de vetores e produto de escalar por vetor, e os axiomas ficam:

O núcleo de uma transformação linear de em denotado por é o conjunto em que é o vetor nulo de

Exemplo: O núcleo da função de em definida por é:

O conjunto é um subespaço vetorial de V, pois se  ∈  e se  ∈  então ou seja,  ∈ 

Se uma aplicação linear de em for injectiva, então pois e, portanto, pela injectividade de o único vector  ∈  tal que é Reciprocamente, se então é injectiva, pois, dados  ∈ 

Sejam e espaços vetoriais sobre um corpo A imagem de uma transformação linear de em é o conjunto:

Sejam dois elementos da imagem de e sejam Então, como estão na imagem de há vectores tais que e que pelo que: Logo, é um subespaço vetorial de

Dimensão da imagem e do núcleo

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Sejam e espaços vetoriais sobre um corpo sendo de dimensão finita, e seja uma transformação linear de em Então Vai ser visto como se pode demonstrar esse facto. Seja e seja uma base de Como é um subespaço de pode-se completar essa base até obtermos uma base de Sejam então  …  ∈  tais que seja uma base de em particular, Vai-se provar que é uma base de Im de onde resultará que Se  ∈ Im então para algum  ∈  e pode ser escrito sob a forma pelo que visto que  ∈  Isto prova que gera Por outro lado, os vetores são linearmente independentes, pois se  ∈  forem tais que então de onde resulta que é uma combinação linear dos vetores o que é só é possível se pois o conjunto é uma base e, portanto, linearmente independente.

Este teorema também pode ser estendido para dimensões infinitas, mas, neste caso, sua demonstração e até o enunciado dependem do axioma da escolha.

Tipos especiais

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Denomina-se isomorfismo uma transformação linear que seja bijetiva.

Denomina-se endomorfismo ou operador linear uma transformação linear de um espaço vetorial «nele mesmo», ou seja, uma transformação que tenha domínio igual ao contradomínio.

Se for um endomorfismo de um espaço vetorial de dimensão finita, então são condições[3] equivalentes:

  1. é injetivo;
  2. é sobrejetivo;
  3. é bijetivo.

É claro que a terceira condição implica as outras duas. Se for sobrejetivo, então pelo que e, portanto, pelo que é injetivo. Por outro lado, se for injetivo, então pelo que e, portanto, ou seja, é sobrejetivo.

Exemplos de matrizes de transformações lineares

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Alguns casos especiais de transformações lineares[4] do espaço R2 são bastante elucidativas:

  • rotação de 90 graus no sentido anti-horário:
  • rotação por graus no sentido anti-horário:
  • reflexão em torno do eixo x:
  • reflexão em torno do eixo y:
  • projeção sobre o eixo y:

Espaço das transformações lineares

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Sejam e espaços vetoriais sobre o corpo Seja definido como o conjunto de todas transformações lineares de em Como funções, para quaisquer operadores e e qualquer escalar podemos definir e por:

É imediato provar que e também são transformações lineares de em e que com a soma de transformações e a multiplicação de um escalar por uma transformação forma um espaço vetorial sobre

Pelo fato de que, dadas bases de e temos uma representação de cada transformação linear através de uma matriz de dimensão  ×  concluímos que a dimensão de é (no caso de dimensão infinita, algum cuidado deve ser tomado nesta demonstração).

Espaço dos operadores lineares

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Um caso particular importante é o espaço das transformações lineares de um espaço vectorial nele mesmo (operadores lineares).

Como a composição de operadores lineares é um operador linear, este espaço tem uma estrutura de álgebra, em que a composição de funções faz o papel do produto de operadores.

Assim, dado um operador linear podem-se definir as potências ou, de modo geral, Portanto, se é um polinômio com coeficientes no corpo de escalares, faz sentido definir em que é o operador identidade em

Verificam-se facilmente as seguintes propriedades:

  • Se e são polinômios, então e

Se o espaço tem dimensão finita então também tem dimensão finita Portanto, o conjunto de operadores é linearmente dependente. Logo, existem escalares não todos nulos, tais que Ou seja, existe um polinômio não-nulo tal que .

Se existe um polinômio não-nulo tal que , então o conjunto não-vazio dos polinômio tais que forma um ideal no anel de todos polinômios com coeficientes no corpo. Portanto, existe um único polinômio mônico tal que . Este polinômio é chamado de polinômio mínimo de

Ver artigo principal: Espaço dual

Seja um espaço vetorial sobre um corpo O espaço dual de representado por é o espaço vetorial das transformações lineares de em

Referências

  1. Lima, Elon Lages (2016). Álgebra Linear. Col: Coleção matemática universitária 9ª ed. Rio de Janeiro: IMPA. pp. 357 p. ISBN 9788524404207 
  2. «Transformações lineares e exemplos». REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática. Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Consultado em 20 de julho de 2018 
  3. «Transformações injetoras, sobrejetoras e invertíveis». REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática e Estatística. Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Consultado em 20 de julho de 2018 
  4. «Matriz de uma transformação linear». REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática. Instituto de Matemática e Estatística da Universidade do Rio Grande do Sul. Consultado em 20 de julho de 2018