Teorema de Vinogradov

Em Teoria dos números, o teorema de Vinogradov mostra que qualquer número impar suficientemente grande pode ser representado como a soma de três números primos. É um teorema mais fraco que a conjectura fraca de Goldbach, segundo a qual diz que, está representação vale para todo impar maior que cinco. Foi nomeado após Ivan Vinogradov fazer sua demostração nos anos 30. O resultado do teorema proporciona limites assintóticos no números de representações de um número impar como uma soma de três primos.

Enunciado do Teorema de Vinogradov

Dado A um número real positivo. Então

$r(N)={1 \over 2}G(N)N^{2}+O\left(N^{2}\log ^{-A}N\right),$

onde

$r(N)=\sum _{k_{1}+k_{2}+k_{3}=N}\Lambda (k_{1})\Lambda (k_{2})\Lambda (k_{3})$,

usando a função de Mangoldt $\Lambda$, e

$G(N)=\left(\prod _{p\mid N}\left(1-{1 \over {\left(p-1\right)}^{2}}\right)\right)\left(\prod _{p\nmid N}\left(1+{1 \over {\left(p-1\right)}^{3}}\right)\right).$

Uma consequência

Se N é impar, então G(N) é aproximadamente 1, por tanto $N^{2}=O\left(r(N)\right)$ para todo N suficientemente grande. Fica a mostrar que a contribuição das potências próprias de primos para r(N) é $O\left(N^{3 \over 2}\log ^{2}N\right)$, se pode ver que :$N^{2}\log ^{-3}N=O\left({\hbox{k}}\right)$, onde k é o número de formas em que N pode ser expressado como soma de três primos. Isto significa em particular que qualquer impar suficientemente grande pode ser expresso como uma soma de três primos, logo prova a conjectura fraca de Goldbach, exceto para número finito de casos.

Curiosidades

Embora Vinográdov não pôde determinar com exatidão o que significava "suficientemente grande", seu aluno K. Borozdkin demonstrou que $\mathrm {e} ^{\mathrm {e} ^{16{,}038}}\approx 3^{3^{15}}$ é um cota superior para o conceito de "suficientemente grande". Este número têm 4.008.660 de dígitos, assim mostrar a conjectura em cada número menor que esta cota seria inviável com a tecnologia atual. Em 2002, Liu Ming-Chit (Universidade de Hong Kong) e Wang Tian-Ze abaixaram essa cota para aproximadamente $n>e^{3100}\approx 2\times 10^{1346}$. O expoente continua muito grande para uma verificação computacional de todos os números menores. ( Pesquisas por computador têm apenas alcançado $10^{18}$ para a conjectura forte, e não mais que isso para a conjectura fraca).

Referências

• I.M. Vinogradov (1954). The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers. New York: Interscience 
• Melvyn B. Nathanson (1996). Additive Number Theory: the Classical Bases. Col: Graduate Texts in Mathematics. 164. [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94656-X  Chapter 8.

Ligações externas

• Weisstein, Eric W. «Vinogradov's Theorem». MathWorld (em inglês)