Álgebra diferencial

Em matemática, anéis diferenciais, corpos diferenciais e álgebras diferenciais são anéis, corpos e álgebras equipados com uma derivação, a qual é um função unária satisfazendo a lei do produto de Leibniz. Um exemplo natural de corpo diferencial é o corpo de funções sobre os números complexos em uma variável, C(t), onde a derivação é diferenciação com relação a t.

Anel diferencial

Um anel diferencial é um anel R equipado com uma ou mais derivações, isto é, homomorfismos aditivos

$\partial :R\to R\,$

tais que cada derivação satisfaz a regra do produto de Leibniz

$\partial (r_{1}r_{2})=(\partial r_{1})r_{2}+r_{1}(\partial r_{2}),\,$

para quaisquer $r_{1},r_{2}\in R$.

Observe que o anel pode não ser comutativo, então a forma razoavelmente padrão d(xy) = xdy + ydx para a regra do produtoem contextos comutativos pode ser falsa. Se $M:R\times R\to R$ é a multiplicação no anel, a regra do produto é a igualdade

$\partial \circ M=M\circ (\partial \otimes \operatorname {id} )+M\circ (\operatorname {id} \otimes \partial ).$

em que $f\otimes g$ é a função que leva o par $(x,y)$ no par $(f(x),g(y))$.

Referências

• Buium, Differential Algebra and Diophantine Geometry, Hermann (1994).
• I. Kaplansky, Differential Algebra, Hermann (1957).
• E. Kolchin, Differential Algebra and Algebraic Groups, 1973
• D. Marker, Model theory of differential fields, Model theory of fields, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer and A. Pillay, Springer Verlag (1996).
• A. Magid, Lectures on Differential Galois Theory, American Math. Soc., 1994