53 temperamentos iguais

Na música, 53 temperamentos iguais, chamados 53 TET (53 Tons em Eqüi-Temperamento), 53 EDO (53 Eqüi-Divisões da Oitava) ou 53 ET, são a escala temperada derivada da divisão da oitava em 53 etapas iguais (relações de frequência iguais) (Play^ⓘ) Cada passo representa uma taxa de frequência de 2 1⁄53 ou 22,6415 centes (Play^ⓘ), um intervalo às vezes chamado de coma Holdrian.

O intervalo de 7⁄4 é de 4,8 cêntimos em sustenido no 53-EDO, e usá-lo para harmonia de 7 limites significa que o cleisma septimal (play^ⓘ)., o intervalo 225⁄224, também é moderado.

Por que 53?

Ciclo de 12 quintas justas, acrescentando-se $2\pi {\frac {\ln {1,5}}{\ln {2}}}$ rad a cada passo. Observe que a afinação justa resulta em uma assimetria nas distâncias entre cada semitom.

Ciclo de 53 quintas justas, acrescentando-se $2\pi {\frac {\ln {1,5}}{\ln {2}}}$ rad a cada passo. Observe que, depois de 12, a primeira vez em que o ciclo é fechado com assimetrias relativamente baixas, é após 53 quintas.

A afinação pitagórica (ou temperamento pitagórico) é um sistema de entonação justa no qual intervalos de exatamente ${\frac {2}{3}}$ (também notados como 2:3) são usados para obterem-se as frequências conseguintes. Na música, intervalos 2:3 são chamados "quintas", por abrangerem 5 posições na pauta musical. Intervalos 1:2 são nomeados "oitavas" (por abrangerem 8 posições na pauta) e levam diretamente à próxima aparição da mesma nota.

Tomando-se uma frequência inicial equivalente a uma certa nota, ao percorrer-se uma sequência (ascendente ou descendente) de quintas, jamais se chega à mesma nota, já que a equação ${\frac {3}{2}}^{x}=2^{y}$ não possui solução para x e y inteiros. Entretanto, é possível chegar bem próximo da mesma nota. A primeira vez que isso ocorre é ao subirem-se 12 quintas e descerem-se 7 oitavas. Chega-se, então, a uma frequência próxima à de partida. O erro ou diferença, nesse caso, é chamado de comma pitagórico = ${\frac {1,5^{12}}{2^{7}}}=1,013643265$, equivalendo a cerca de 1/4 de um semitom. Essa é a diferença real entre, por exemplo, C e B#. Por esse motivo, 12 é o número de divisões de oitava mais usado.^{[carece de fontes]}. Se continuarmos percorrendo um ciclo de quintas, chegamos novamente a uma frequência ainda mais próxima da inicial após correr 53 quintas e voltar 31 oitavas. Essa é a segunda ocorrência, proporcionando, agora, um erro ainda bem menor, o comma de Mercator: ${\frac {1,5^{53}}{2^{31}}}=1,002090314$. A terceira ocorrência seria após 306 quintas. Para todas essas ocorrências, temos não somente um erro cada vez menor como também espectro de subdivisões da oitava aproximadamente equidistante. Todavia, o sistema 53 EDO aqui tratado não é de afinação pitagórica, mas de iguais subdivisões da oitava. Assim como o 12 EDO, ele aproxima o sistema de afinação pitagórica de tal maneira que todos os intervalos sejam equidistantes.

História

Desde a antiguidade, já havia interesse técnico na matemática da divisão de uma oitava. Ching Fang (78-37 AC), um músico teórico Chinês, já percebera que uma série de 53 quintas é aproximadamente igual a 31 oitavas. Ele calculara com uma precisão de 6 dígitos de acurácia. Mais tarde, no século XVII, Nicholas Mercator calculou tal valor com precisão como sendo $3^{53}/2^{84}$. Hoje, tal intervalo é conhecido como comma de Mercator e equivale a aproximadamente 3,615 cêntimos. O sistema 53 EDO encurta as quintas em 1/53 desse comma ou cerca de 0,0682 cêntimo ou 1/315 comma sintônicos ou 1/355 comma pitagóricos.

Notação

Notação usada na música clássica otomana, na qual cada tom é dividido em 9 commas

Com o intuito de se usar a notação tradicional, sete notas nomeadas seguidas de sustenido ♯ ou bemol ♭ podem acabar tornando tudo confuso. Este não é o caso de 19 EDO ou 31 EDO nos quais há pouca ambigüidade. Por não ser mesotônico, acabam aparecendo problemas que requerem certa atenção. Especificamente, a terça maior é diferente de um ditom, cada um do qual é duas quintas menos uma oitava. Da mesma forma, a terça menor é diferente de um semiditom. O facto de que o comma sintônico não é temperado significa que notas e intervalos precisam ser definidos mais precisamente. A música clássica otomana usa uma notação de bemóis e sustenidos para um tom dividido em 9 commas.

Neste artigo, a notação diatônica será usada criando a seguinte escala cromática, na qual sustenidos e bemóis não são enarmônicos, somente E e B são enarmonicamente equivalente a F e C, respectivamente. Para outras notas, bemóis e sustenidos triplos e quádruplos não são enarmônicos.

C, C♯, C, C♯, C, D, D♭, D, D♭,

D, D♯, D, D♯, D, E, E♭, E, E♭,

E, E♯, E/F, F♭,

F, F♯, F, F♯, F, G, G♭, G, G♭,

G, G♯, G, G♯, G, A, A♭, A, A♭,

A, A♯, A, A♯, A, B, B♭, B, B♭,

B, B♯, B/C, C♭, C

Tamanho de intervalos

Pelo facto de a distância de 31 passos nesta escala ser quase precisamente igual à quinta justa, em teoria esta escala pode ser considerada uma forma levemente temperada da afinação pitagórica que foi estendida a 53 tons. Como tal, os intervalos disponíveis podem ter as mesmas propriedades de qualquer afinação pitagórica, como quintas que são praticamente puras, terças maiores somente um pouco alargadas: 81⁄64 em comparação à pura terça maior 5⁄4, e terças menores que são só um pouco mais curtas (32⁄27 comparado a 6⁄5).

Não obstante, o sistema 53-EDO contém intervalos adicionais que estão muito próximos à entonação justa. Por exemplo, o intervalo de 17 passos é igualmente uma terça maior, mas apenas 1,4 cêntimos mais estreito que o intervalo justo 5⁄4. 53-EDO é muito bom como uma aproximação a qualquer intervalo em entonação justa de 5 limites.

Os casamentos de intervalos justos envolvendo o 7º harmônico são levemente menos próximos, mas todos esses tais intervalos ainda são casados, tendo 7⁄5 tritom como mais alto desvio. O 11º harmônico e os intervalos envolvendo-o são casados com menor proximidade, como ilustrado na tabela abaixo com as segundas e terças neutras em décima-primeira.

Nome do intervalo	Size (passos)	Size (cêntimos)	Razão justa	Razão justa em cents	Erro
oitava	53	1200	2:1	1200	0
sétima harmônica	43	973.59	7:4	968.83	+4.76
sexta maior	39	882.96	5:3	884	−1.04
quinta perfeita	31	701.89	3:2	701.96	−0.07
tritom diatônico	26	588.68	45:32	590.22	−1.54
tritom septimal	26	588.68	7:5	582.51	+6.17
classic tritom	25	566.04	25:18	568.72	−2.68
tritom décimo-primeiro	24	543.40	11:8	551.32	−7.92
quinta duplamente diminuta	24	543.40	512:375	539.10	+4.30
quarta aumentada em décima-primeira	24	543.40	15:11	536.95	+6.45
quarta aguda	23	520.76	27:20	519.55	+1.21
quarta perfeita	22	498.11	4:3	498.04	+0.07
quarta grave	21	475.47	320:243	476.54	−1.07
quarta estreita em sétima	21	475.47	21:16	470.78	+4.69
terça aumentada clássica	20	452.83	125:96	456.99	−4.16
terça aumentada tridécima	20	452.83	13:10	454.21	−1.38
terça maior em sétima	19	430.19	9:7	435.08	−4.90
quarta diminuta clássica	19	430.19	32:25	427.37	+2.82
ditom pitagórico	18	407.54	81:64	407.82	−0.28
terça maior justa	17	384.91	5:4	386.31	−1.40
terça maior grave	16	362.26	100:81	364.80	−2.54
terça nêutra, tridécima	16	362.26	16:13	359.47	+2.79
terça nêutra, décima-primeira	15	339.62	11:9	347.41	−7.79
terça menor aguda	15	339.62	243:200	337.15	+2.47
terça menor justa	14	316.98	6:5	315.64	+1.34
semiditom	13	294.34	32:27	294.13	+0.21
Segunda aumentada clássica	12	271.70	75:64	274.58	−2.88
terça menor em sétima	12	271.70	7:6	266.87	+4.83
terça diminuta clássica	11	249.06	144:125	244.97	+4.09
tom inteiro em sétima	10	226.41	8:7	231.17	−4.76
terça diminuta	10	226.41	256:225	223.46	+2.95
tom inteiro, tom maior	9	203.77	9:8	203.91	−0.14
tom inteiro, tom menor	8	181.13	10:9	182.40	−1.27
segunda nêutra, décima-primeira alargada	7	158.49	11:10	165.00	−6.51
segunda nêutra, tom inteiro grave	7	158.49	800:729	160.90	−2.41
segunda nêutra, décima primeira estreitada	7	158.49	12:11	150.64	+7.85
segunda nêutra, limma larga	6	135.85	27:25	133.24	+2.61
Semitom pitagórico maior	5	113.21	2187:2048	113.69	−0.48
semitom diatônico justo	5	113.21	16:15	111.73	+1.48
limma maior	4	90.57	135:128	92.18	−1.61
semitom pitagórico menor	4	90.57	256:243	90.22	+0.34
just semitom cromático	3	67.92	25:24	70.67	−2.75
diese justa	2	45.28	128:125	41.06	+4.22
comma sintônico	1	22.64	81:80	21.51	+1.14