Análise nodal

A lei actual de Kirchhoff é a base da análise nodal.

Em análise de circuitos elétricos, análise nodal ou tensão de análise de um nó ou método do ramo atual é um método para se determinar a tensão, ou diferença de potencial, entre "nós" (pontos onde os elementos ou ramos se ligam) em um circuito elétrico.

Na análise de um circuito, usando Lei de Kirchhoff, pode-se fazer análise nodal (usando a lei de Kirchhoff das correntes (LKC), ou método dos nós) ou de análise de malhas (lei de Kirchhoff de tensões (LKT)).

Na análise Nodal escreve-se uma equação em cada nó, exigindo que o nó tenha uma soma de correntes igual a zero. Como conseqüência, cada ramo da relação deve dar produzir uma função da tensão, representada pela admitância. Por exemplo, para um resistor, Corrente_ramo = Tensão_ramo * G, onde G=1/R é a admitância (condutância) do resistor.

Análise Nodal produz um compacto conjunto de equações para a rede, que pode ser resolvido a mão, se pequena, ou se pode ser rapidamente resolvido usando álgebra linear pelo computador. Por causa do compacto sistema de equações, muitas circuito de simulação de programas (e.g. SPICE) usam análise nodal como base.

Método

1. Observe todos os segmentos do circuito. Os nós da análise nodal são, geralmente, onde os fios se encontram.
2. Selecione um nó como o terra, cuja tensão é zero. A escolha não afeta o resultado e é apenas uma questão de convenção. Escolher o nó com a maioria das conexões pode simplificar a análise. Para um circuito de N nós o número de equações nodais é N-1.
3. Atribuir uma variável para cada nó cuja tensão é desconhecida. Se a tensão já é conhecido, não é necessário atribuir uma variável.
4. Para cada tensão desconhecida, forma uma equação baseada sobre a lei actual de Kirchhoff, ou método dos nós. Basicamente, deve-se juntar todas as correntes que saem do nó e marcar a soma igual a zero. Encontrar a corrente entre dois nós é nada mais do que "o nó com o maior potencial, menos o nó com o menor potencial, dividida pela resistência ou, de forma mais geral, impedância entre os dois nós."
5. Se existem duas fontes de tensão desconhecidas, junte-se a nós, como um supernó. As correntes dos dois nós são combinados em uma única equação, e uma nova equação para a tensão é formado.
6. Resolver o sistema de equações lineares para cada tensão desconhecida.

Exemplos

Caso Básico

Exemplo básico de circuito com um tensão desconhecida, V₁.

A tensão desconhecida nesse circuito é V₁. Existem três conexões para este nó e, consequentemente, três correntes a se considerar. A direção das correntes em cálculos é escolhido para ser afastado do nó.

1. A corrente através do resistor R₁: (V₁ - V_S) / R₁
2. A corrente através do resistor R₂: V₁ / R₂
3. A corrente através da fonte de corrente I_S: -I_S

Com a lei de Kirchhoff, temos:

${\frac {V_{1}-V_{S}}{R_{1}}}+{\frac {V_{1}}{R_{2}}}-I_{S}=0$ Esta equação pode ser resolvida com respeito a V₁:

$V_{1}={\frac {\left({\frac {V_{S}}{R1}}+I_{S}\right)}{\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)}}$

Finalmente, a tensão desconhecida pode ser resolvida substituindo valores numéricos por símbolos. Qualquer corrente desconhecida é fácil de se calcular depois de todas as tensões no circuito são conhecidas.

$V_{1}={\frac {\left({\frac {5{\text{ V}}}{100\,\Omega }}+20{\text{ mA}}\right)}{\left({\frac {1}{100\,\Omega }}+{\frac {1}{200\,\Omega }}\right)}}\approx 4.667{\text{ V}}$

Supernós

Neste circuito, V₁ está entre duas tensões desconhecidas, e é, portanto, um supernó.

Neste circuito, inicialmente, temos duas tensões desconhecidas, V₁ e V₂. A tensão em V₃ já é conhecido como V_B porque o outro terminal da fonte de tensão está no potencial de terra.

A corrente passando através de fonte de tensão V_A não pode ser calculada diretamente. Portanto, podemos escrever a atual equações para qualquer V₁ , V₂. No entanto, sabemos que a mesma corrente, deixando o nó V₂ deve inserir nó V₁. Mesmo que os nós não possam ser resolvidos individualmente, sabemos que o combinação atual desses dois nós é zero. Esta combinação de dois nós é chamado o supernó técnica, e requer um adicional equação: V₁ = V₂ + V_A.

O conjunto completo de equações para este circuito é:

${\begin{cases}{\frac {V_{1}-V_{\text{B}}}{R_{1}}}+{\frac {V_{2}-V_{\text{B}}}{R_{2}}}+{\frac {V_{2}}{R_{3}}}=0\\V_{1}=V_{2}+V_{\text{A}}\\\end{cases}}$

Substituindo-se V₁ para a primeira equação e de solução no que diz respeito a V₂, temos:

$V_{2}={\frac {(R_{1}+R_{2})R_{3}V_{\text{B}}-R_{2}R_{3}V_{\text{A}}}{(R_{1}+R_{2})R_{3}+R_{1}R_{2}}}$

Referências

• P. Dimo Nodal Análise de Sistemas de Potência, Abacus Prima Kent 1975

Ligações externas

• Método dos Nós
• Solucionador de problemas online de quatro nós
• Exemplo Simples de Análise Nodal