Bimatriz

Na teoria dos jogos, uma bimatriz é um jogo simultâneo para dois jogadores em que cada jogador tem um número finito de ações possíveis. O nome vem do fato de que a forma normal de tal jogo pode ser descrita por duas matrizes — a matriz $A$ descreve os payoffs do jogador 1 e a matriz $B$ descreve os payoffs do jogador 2. O jogador 1 é frequentemente chamado de "jogador da linha" e o jogador 2, "jogador da coluna". Se o jogador 1 tem $m$ ações possíveis e o jogador 2 tem $n$ ações possíveis, então cada uma das duas matrizes tem $m$ linhas por $n$ colunas. Quando o jogador da linha seleciona a $i$-ésima ação e o jogador da coluna seleciona a $j$-ésima ação, o payoff para o jogador da linha é $A[i,j]$ e o payoff para o jogador da coluna é $B[i,j]$. Os jogadores também podem jogar estratégias mistas. Uma estratégia mista para o jogador da linha é um vetor não negativo $x$ de comprimento $m$ tal que: $\sum _{i=1}^{m}x_{i}=1$. Da mesma forma, uma estratégia mista para o jogador da coluna é um vetor não negativo $y$ de comprimento $n$ tal que: $\sum _{j=1}^{n}y_{j}=1$. Quando os jogadores jogam estratégias mistas com vetores $x$ e $y$, o retorno esperado do jogador da linha é: $x^{T}Ay$ e do jogador da coluna: $x^{T}By$.

Equilíbrio de Nash na bimatriz

Todo jogo de bimatriz tem um equilíbrio de Nash em (possivelmente) estratégias mistas. Encontrar esse equilíbrio de Nash é um caso especial do problema de complementaridade linear e pode ser feito em tempo finito pelo algoritmo de Lemke-Howson. Há uma redução do problema de encontrar um equilíbrio de Nash em uma bimatriz para o problema de encontrar um equilíbrio competitivo em uma economia com utilitários de Leontief.

Temos relacionados

Um jogo de soma zero é um caso especial de uma bimatriz em que $A+B=0$.