Discussão:Relação de equivalência

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suponhamos a relação R: R = { (a,a), (b,b) ,(a,b), (b,a) } ela é transitiva? a R b, b R a e a R a. mas nos livros que tenho olhado, diz que essa relação R não é transitiva!

Talvez

Def: a ~ b se R = { (a,a), (b,b), (a,b), (b,a) }.

I)Verdade?

a ~ a => R = { (a,a) } ?

II)Verdade. Seja a ~ b.

a ~ b => R = { (a,a), (b,b), (a,b), (b,a) }

Caso b ~ a => R1 = { (b,b), (a,a), (b,a), (a,b) } => R1 = R

Logo a ~ b => b ~ a.

III) Verdade?

X={0,1,2}; a=0, b=1, c=2;

a ~ b => R1 = { (0,0), (1,1), (0,1), (1,0) }

b ~ c => R2 = { (1,1), (2,2), (1,2), (2,1) }

Caso a ~ c => R3 = { (0,0), (2,2), (0,2), (2,0) }. R3 não é igual a R1 e nem a R2. Então a ~ b e b ~ c => a ~ c?

Conclusão: Pela definição dada no artigo uma relação de equivalencia é uma relação binaria de um dado conjunto, e essa relação tem que ser reflexiva, simétrica e transitiva. Na sua duvida só existe um conjunto formado por dois elementos. Pode ser que eu não esteja entendo o problema, mas cade a relção binaria, e o conjunto com os elementos que formam o seu conjunto.

Vou deixar o meu exemplo de relação de equivalencia para esclarecer a minha conclusão:

Seja $X={0}$. Seja $a,b,c\in X$. A relação binaria igualdade usual é uma relação de equivalencia ja que:

I)a = a;

a = 0 = 0 = a;

II)a = b => b = a;

a = b = 0; 0 = 0 => b = a;

III)a = b e b = c => a = c;

a = b = c = 0; 0 = 0 => a = c;

Pra não deixar duvidas a igualdade é uma relação de equivalencia sempre e pra todos os conjuntos.Y3ayb (discussão) 20h53min de 6 de Outubro de 2008 (UTC)y3ayb