Discussão:Teste da integral

Demonstração

Não gostei da forma como está. Acho que um caminho melhor seria algo como:

Consideremos as seguintes séries:

$\sum _{1}^{\infty }b_{n}\,$

$\sum _{1}^{\infty }c_{n}\,$

em que os termos b_n e c_n são definidos por:

$b_{n}=\int _{n}^{n+1}f(x)dx\,$

$c_{1}=a_{1}\,$

$c_{n}=\int _{n-1}^{n}f(x)dx\,$ para n ≥ 2

Como $f(x)$ é decrescente, temos:

$b_{n}=\int _{n}^{n+1}f(x)dx\geq \int _{n}^{n+1}a_{n}=a_{n}\,$

Analogamente:

$c_{n}=\int _{n-1}^{n}f(x)dx\leq \int _{n-1}^{n}a_{n}=a_{n}\,$

etc - depois se eu tiver tempo escrevo isso. Albmont (discussão) 18h54min de 15 de Outubro de 2008 (UTC)

Acho que isso é equivalente à demonstração que está no artigo, só uma ligeira diferença de notação. Lechatjaune ^msg 20h13min de 15 de Outubro de 2008 (UTC)

• Sei lá, o texto Agora basta observar que f(x) ≥ 0 implica que a integral ou tende a infinito ou converge. E resultado segue pelo teste da comparação parece um leap of illogic - afinal, o teste da comparação compara duas séries, e aqui temos séries comparadas com integrais. Albmont (discussão) 10h00min de 16 de Outubro de 2008 (UTC)
• Os critérios de comparação que conheces para as séries também há para integrais impróprios, só que em muitas escolas não se estudam. José Salazar.

Demonstração

O Critério do Integral faz uma "ponte" entre dois importantes capítulos da base matemática, o Cálculo Integral e as Séries. Ele pode ser enunciado sob a condição única da monotonia!
O livro mais antigo que conheço e que demonstra o critério a partir desta condição única, pertence a um matemático português, Jaime Campos Ferreira - "Introdução à Análise Matemática", Ed. Calouste Gulbenkian - 1° edição em 1987. Eu gostaria de saber se há outros mais antigos. Não conheço.
Deixei um vídeo de 9 minutos com todas as demonstrações e com exemplos. Quando tiver tempo escrevo aqui:
Texto em português: www.youtube.com/watch?v=CperSdSXJSg
Texto em inglês: www.youtube.com/watch?v=2pvuCEnb60k
José Salazar, ISCAL 2013.