Drawdown

O drawdown é a medida do declínio de um pico histórico em alguma variável (normalmente o lucro cumulativo ou o patrimônio líquido total de uma estratégia de negociação financeira).

Um pouco mais formalmente, se ${\textstyle X(t),\;t\geq 0}$ é um processo estocástico com ${\textstyle X(0)=0}$, a redução na hora $T$, denotado ${\textstyle D(T)}$, é definido como:

$$D(T)=\max \left[\max _{t\in (0,T)}X(t)-X(T),0\right]\equiv \left[\max _{t\in (0,T)}X(t)-X(T)\right]_{+}$$

O médio drawdown (AvDD) até o momento $T$ é a média de tempo de rebaixamentos que ocorreram até o momento $T$:

$$\operatorname {AvDD} (T)={1 \over T}\int _{0}^{T}D(t)\,dt$$

O máximo drawdown (MDD) até o momento $T$ é o máximo do drawdown ao longo do histórico da variável. Mais formalmente, o MDD é definido como:

$$\operatorname {MDD} (T)=\max _{\tau \in (0,T)}D(\tau )=\max _{\tau \in (0,T)}\left[\max _{t\in (0,\tau )}X(t)-X(\tau )\right]$$

Pseudocódigo

O pseudocódigo a seguir calcula o drawdown ("DD") e o máximo drawdown ("MDD") da variável "NAV", o valor líquido do ativo de um investimento. O drawdown e o máximo drawdown são calculados como porcentagens:

MDD = 0
peak = -99999
for i = 1 to N step 1 do
    # peak será o valor máximo visto até o momento (0 a i), sendo atualizado apenas quando um NAV mais alto for detectado
    if (NAV[i] > peak) then
        peak = NAV[i]
    end if
    DD[i] = 100.0 × (peak - NAV[i]) / peak
    # Da mesma forma que a variável peak, o MDD mantém o controle do rebaixamento máximo até o momento, sendo somente atualizado quando um DD maior for detectado.
    if (DD[i] > MDD) then
        MDD = DD[i]
    end if
end for

Otimização do drawdown

Um rápido vislumbre sobre a definição matemática de drawdown sugere dificuldade significativa em usar uma estrutura de otimização para minimizar a quantidade, sujeita a outras restrições; isso se deve à natureza não convexa do problema. No entanto, existe uma maneira de transformar o problema de minimização do drawdown em um programa linear.

Os autores começam propondo uma função auxiliar $\Delta _{\alpha }(x)$, onde $x\in \mathbb {R} ^{p}$ é um vetor de retornos de portfólio, que é definido por:

$$\Delta _{\alpha }(x)=\min _{\zeta }\left\{\zeta +{1 \over {(1-\alpha )T}}\int _{0}^{T}[D(x,t)-\zeta ]_{+}\,dt\right\}$$

Eles chamam isso de drawdown condicional em risco (CDaR); isso é um aceno para o valor em risco condicional (CVaR), que também pode ser otimizado usando a programação linear. Existem dois casos limites a serem considerados:

• ${\textstyle \lim _{\alpha \rightarrow 0}\Delta _{\alpha }(x)}$ é o médio drawdown
• ${\textstyle \lim _{\alpha \rightarrow 1}\Delta _{\alpha }(x)}$ é o máximo drawdown