Escalar de Lorentz

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Em uma teoria relativística da física, um escalar de Lorentz é uma expressão, formada a partir de itens da teoria, que resulta em um escalar, invariante sob qualquer transformação de Lorentz. Um escalar de Lorentz pode ser gerado a partir, por exemplo, do produto escalar de vetores ou da contração de tensores da teoria. Enquanto os componentes de vetores e tensores são, em geral, alterados sob transformações de Lorentz, os escalares de Lorentz permanecem inalterados.

Um escalar de Lorentz nem sempre é imediatamente visto como um escalar invariante no sentido matemático, mas o valor escalar resultante é invariante sob qualquer transformação de base aplicada ao espaço vetorial, no qual se baseia a teoria considerada. Um escalar de Lorentz simples no espaço-tempo de Minkowski é a distância no espaço-tempo ("comprimento" de sua diferença) de dois eventos fixos no espaço-tempo. Enquanto os quadrivetores de "posição" dos eventos mudam entre diferentes referenciais inerciais, sua distância no espaço-tempo permanece invariante sob a transformação de Lorentz correspondente. Outros exemplos de escalares de Lorentz são o "comprimento" de quadrivelocidades (veja abaixo), ou a curvatura de Ricci em um ponto no espaço-tempo da relatividade geral, que é uma contração do tensor de curvatura de Riemann ali.

Escalares simples na relatividade especial[editar | editar código-fonte]

O comprimento de um vetor de posição[editar | editar código-fonte]

Linhas mundiais para duas partículas em velocidades diferentes.

Na relatividade especial, a localização de uma partícula no espaço-tempo quadridimensional é dada por

onde é a posição no espaço tridimensional da partícula, é a velocidade no espaço tridimensional e é a velocidade da luz.

O "comprimento" do vetor é um escalar de Lorentz e é dado por

onde é o tempo adequado medido por um relógio no referencial de repouso da partícula e a métrica de Minkowski é dada por

Esta é uma métrica semelhante ao tempo.

Frequentemente, a assinatura alternativa da métrica de Minkowski, na qual os sinais dos uns são invertidos, é usada.

Esta é uma métrica semelhante ao espaço.

Na métrica de Minkowski, o intervalo espacial é definido como

Usamos a métrica de Minkowski semelhante ao espaço no restante deste artigo.

O comprimento de um vetor de velocidade[editar | editar código-fonte]

Os vetores de velocidade no espaço-tempo para uma partícula em duas velocidades diferentes. Na relatividade, uma aceleração é equivalente a uma rotação no espaço-tempo

A velocidade no espaço-tempo é definida como

onde

A magnitude da quadrivelocidade é um escalar de Lorentz,

Portanto, c é um escalar de Lorentz.

O produto interno da aceleração e da velocidade[editar | editar código-fonte]

A quadriaceleração é dada por

A quadriaceleração é sempre perpendicular à quadrivelocidade

Portanto, podemos considerar a aceleração no espaço-tempo simplesmente como uma rotação da quadrivelocidade. O produto interno da aceleração e da velocidade é um escalar de Lorentz e é zero. Esta rotação é simplesmente uma expressão de conservação de energia:

onde é a energia de uma partícula e é a triforça na partícula.

Energia, massa em repouso, trimomento e trivelocidade a partir do quadrimomento[editar | editar código-fonte]

O quadrimomento de uma partícula é

onde é a massa de repouso da partícula, é o momento no espaço tridimensional e

é a energia da partícula.

Medição da energia de uma partícula[editar | editar código-fonte]

Considere uma segunda partícula com quadrivelocidade e uma trivelocidade . No referencial de repouso da segunda partícula, o produto interno de com é proporcional à energia da primeira partícula

onde o subscrito 1 indica a primeira partícula.

Como a relação é verdadeira no referencial de repouso da segunda partícula, ela é verdadeira em qualquer referencial. , a energia da primeira partícula no referencial da segunda partícula, é um escalar de Lorentz. Portanto,

em qualquer referencial inercial, onde ainda é a energia da primeira partícula no referencial da segunda partícula.

Medição da massa de repouso da partícula[editar | editar código-fonte]

No referencial de repouso da partícula, o produto interno do momento é

Portanto, a massa de repouso (m) é um escalar de Lorentz. A relação permanece verdadeira independentemente do referencial no qual o produto interno é calculado. Em muitos casos, a massa de repouso é escrita como para evitar confusão com a massa relativística, que é .

Medição do trimomento da partícula[editar | editar código-fonte]

Observe que

O quadrado da magnitude do trimomento da partícula medido no referencial da segunda partícula é um escalar de Lorentz.

Medição da trivelocidade da partícula[editar | editar código-fonte]

A trivelocidade, no referencial da segunda partícula, pode ser construída a partir de dois escalares de Lorentz

Escalares mais complicados[editar | editar código-fonte]

Os escalares também podem ser construídos a partir dos tensores e vetores, da contração de tensores (como ) ou combinações de contrações de tensores e vetores (como ).

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Misner, Charles; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation (em inglês). San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0 
  • Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1975). Classical theory of fields (em inglês) Quarta edição revisada ed. Oxford: Pergamon. ISBN 0-08-018176-7 

Ligações externas[editar | editar código-fonte]