Esquema de Falk

O esquema de Falk (denominado em memória do engenheiro Sigurd Falk) é uma tabela que serve como ajuda visual para a multiplicação de matrizes a mão. O fator na esquerda, uma matriz $(m\times r)$, é colocada na esquerda da matriz resultante $(m\times n)$, e o fator na direita, a matriz $(r\times n)$, é colocada acima da matriz resultante. Onde a linha $i$ do multiplicando na esquerda e a coluna $j$ do multiplicando na direita se cruzam, é colocado o correspondente produto escalar.

Exemplo

São dadas as matrizes

$A_{3\times 2}={\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&-6\end{pmatrix}}$ e $B_{2\times 2}={\begin{pmatrix}-1&1\\1&-2\\\end{pmatrix}}$ .

Calcular o produto $C=A\cdot B$. A matriz resultante $C$ é uma matriz $(3\times 2)$.

Inicialmente é configurado o esquema de Falk, escrevendo as matrizes uma ao lado da outra, com um deslocamento de altura.

			Coluna j
			1	2
			−1	1
Linha i			1	−2
1	1	4
2	2	5
3	3	−6

A primeira linha de $A$ é multiplicada elemento a elemento com a primeira coluna de $B$: 1 · (−1) + 4 · 1 = 3 fornecendo o elemento $c_{11}=3$.

			Coluna j
			1	2
			−1	1
Linha i			1	−2
1	1	4	3
2	2	5
3	3	−6

A primeira linha de $A$ é multiplicada elemento a elemento com a segunda coluna de $B$: 1 · 1 + 4 ·(−2) = −7 resultando no elemento $c_{12}=-7$.

			Coluna j
			1	2
			−1	1
Linha i			1	−2
1	1	4	3	−7
2	2	5
3	3	−6

Analogamente procede-se com as linhas seguintes. Concluindo, a terceira $A$ é multiplicada elemento a elemento com a segunda coluna de $B$: 3 · 1 + (−6) · (−2) = 15 resultando o elemento $c_{32}=15$.

			Coluna j
			1	2
			−1	1
Linha i			1	−2
1	1	4	3	−7
2	2	5	3	−8
3	3	−6	−9	15

Bibliografia

• Sigurd Falk (1951). Ein übersichtliches Schema für die Matrizenmultiplikation. Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik (ZAMM). 31. [S.l.: s.n.] pp. 152–153. ISSN 0044-2267. doi:10.1002/zamm.19510310409 
• Rudolf Zurmühl, Falk: Matrizen und ihre Anwendung, Volume 1, Springer, 7. Ed. 1997, p. 17
• Sascha Kurz, Jörg Rambau (2009). Mathematische Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler. Stuttgart: Kohlhammer Verlag. pp. 29–30. ISBN 978-3-17-019882-1 
• Lothar Papula (2010). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. 2 4. ed. Wiesbaden: Vieweg + Teubner Verlag. pp. 525–528. ISBN 978-3-8348-9730-5 
• Karl-Eugen Kurrer: The History of the Theory of Structures. Searching for Equilibrium, Berlim: Ernst & Sohn 2018, p. 842f., ISBN 978-3-433-03229-9

Ligações externas

• Wikibooks: Analytische Geometrie – Matrizen – Rechnen mit Matrizen – Matrizenmultiplikation
• Dankert (HAW Hamburg): Verschiedene Beispiele und deren Erweiterung