Fórmula de Bethe

Partículas rápidas carregadas movendo-se através da matéria interagem com os elétrons dos átomos no material. A interação excita ou ioniza os átomos. Isso leva a uma perda de energia das partículas em movimento. A fórmula de Bethe descreve a média da perda de energia por distância percorrida das partículas carregadas (prótons, partículas alfa, íons atômicos, mas não elétrons) atravessando a matéria (ou, alternativamente, o "poder de parada" do material). A versão não-relativística foi encontrada por Hans Bethe, em 1930; a versão relativística (abaixo) foi encontrada por ele em 1932. A perda de energia mais provável difere da perda de energia média, e é descrita pela distribuição de Landau-Vavilove.

A fórmula de Bethe é, eventualmente, chamada de "Bethe-Bloch fórmula", mas isso é enganoso (ver abaixo).

A fórmula

Para uma partícula com velocidade v, carga z (em múltiplos da carga do elétron), e energia E, viajando a uma distância x na direção de um alvo composto de elétrons de densidade numérica n e potencial médio de excitação I, a versão relativística da fórmula lida em unidades do SI é:

$-\left\langle {\frac {dE}{dx}}\right\rangle ={\frac {4\pi }{m_{e}c^{2}}}\cdot {\frac {nz^{2}}{\beta ^{2}}}\cdot \left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)^{2}\cdot \left[\ln \left({\frac {2m_{e}c^{2}\beta ^{2}}{I\cdot (1-\beta ^{2})}}\right)-\beta ^{2}\right]$ ,       (1)

onde c é a velocidade da luz e ε₀, a permissividade do vácuo, $\beta ={\frac {v}{c}}$, e e m_e, respectivamente, a carga do elétron e a massa de repouso.

O Poder de parada de Alumínio para Prótons versus prótons de energia, e a fórmula de Bethe sem (vermelho) e com correções (azul)

Aqui, a densidade numérica de elétrons do material pode ser calculada por

$n={\frac {N_{A}\cdot Z\cdot \rho }{A\cdot M_{u}}}\,,$

onde ρ é a densidade do material; Z, seu número atômico; A, sua massa atômica relativa; N_A, o número de Avogadro e M_u, a massa Molar constante.

Na figura à direita, os pequenos círculos são resultados experimentais obtidos a partir de medições de vários cientistas, enquanto que a curva vermelha é a fórmula de Bethe. Evidentemente, a teoria de Bethe concorda muito bem com experiência em alta energia. A concordância é melhor ainda quando as correções são aplicadas (ver abaixo).

Para baixas energias, por exemplo, para pequenas velocidades das partículas β << 1, a fórmula de Bethe se reduz a

$-{\frac {dE}{dx}}={\frac {4\pi nz^{2}}{m_{e}v^{2}}}\cdot \left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)^{2}\cdot \left[\ln \left({\frac {2m_{e}v^{2}}{I}}\right)\right].$

(2)

Isso pode ser visto substituindo ßc por v na eq. (1) e, em seguida, negligenciando β² devido ao seu pequeno tamanho.

Portanto, em baixas energias, a perda de energia de acordo com a fórmula de Bethe diminui aproximadamente como v^-2 com o aumento da energia. Ela atinge um mínimo em, aproximadamente, E = 3Mc², onde M é a massa da partícula (para prótons, seria algo em torno de 3000 MeV). Para muitos casos relativísticos β ≈ 1, a perda de energia aumenta novamente, mas de forma logarítmica devido à componente transversal do campo elétrico.

O potencial médio de excitação

O potencial médio de excitação I dos átomos versus o número atômico Z, em eV, dividido por Z

Na teoria de Bethe, o material é completamente descrito por um único número, o potencial médio de excitação I. Em 1933, Felix Bloch mostrou que a média do potencial de ionização dos átomos é aproximadamente dada por: 

                 I = (10 eV) . Z,                (3)

onde Z é o número atômico dos átomos do material. Se esta aproximação é introduzida na fórmula (1) acima, obtém-se uma expressão que é muitas vezes chamadoa de Bethe-Bloch fórmula. Mas desde que nós temos agora tabelas com valores precisos de I como uma função de Z (ver abaixo), podemos usá-las para obter melhores resultados do que a utilização da fórmula (3).

A figura mostra valores normalizados de I, tomados a partir de uma tabela. Os picos e vales na figura levam a correspondentes vales e picos no "poder de parada". Estes são chamados de "Z₂-oscilações" ou "Z₂-estrutura" (onde Z₂ = Z significa o número atômico do alvo).

Correções para a fórmula de Bethe

A fórmula de Bethe é válida apenas para as altas energias suficientes para que a partícula atômica carregada (íon) não transporte quaisquer elétrons atômicos com ele. Em energias menores, quando o íon transporta elétrons, isto reduz a sua carga de forma eficaz, e o poder de parada é consequentemente reduzido. Mas mesmo se o átomo estiver totalmente ionizado, correções fazem-se necessárias.

Bethe encontrou a sua fórmula usando a toeria de pertubação de mecânica quântica. Por isso, o seu resultado é proporcional ao quadrado da carga z da partícula. A descrição pode ser melhorada considerando correções que correspondem às maiores potências de z. Estas são: o efeito de Barkas-Andersen (proporcional a z³, depois de Walter H. Barkas e Hans Henrik Andersen), e a correção de Bloch (proporcional a z⁴). Além disso, tem-se que levar em conta que os elétrons atômicos do material não são estacionários ("shell correction").

A introdução da correção de Bloch pode ser outra razão para o nome comumente usado "fórmula de Bethe-Bloch". Mas, logicamente, seria mais justo nomeá-la de "fórmula de Bethe-Barkas-Andersen-Bloch", mas ninguém o faz.

As correções mencionadas foram construídas para os programas PSTAR e ASTAR, por exemplo, através do qual pode-se calcular o "poder de parada" para prótons e partículas alfa. As correções são grandes em baixas energias e se tornam cada vez menores conforme a energia aumenta.

A energias muito altas, a correção da densidade de Fermi tem que ser também adicionada.

O problema de nomenclatura

Na descrição de programas PSTAR e ASTAR, o National Institute of Standards and Technology chama a fórmula (1) de "Bethe's stopping power fórmula".

Por outro lado, em 2008, na  Review of Particle Physics, a fórmula foi chamada de "Bethe-Bloch equation", apesar da expressão de Bloch (3) sequer aparecer na fórmula. Mas em edições mais recentes, a fórmula foi denominada simplesmente de "fórmula de Bethe". Presumivelmente, o "Bloch" em "Bethe-Bloch" significava a "correção de Bloch" (mencionada acima). Em todo caso, a designação "Bethe-Barkas-Bloch" parecia mais lógica.

Veja também

• Hans Bethe