Fórmula de Machin

A Fórmula de Machin foi formulada por John Machin (1680-1751), que a utilizou para calcular o número pi com 100 casas decimais. Posteriormente, foi usada por William Shanks (1812-1882) para o cálculo de pi com 707 casas decimais.

Fórmula de Machin:

${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$

Dedução

Pelos teoremas de adição de funções trigonométricas temos:

$\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

Manipulação algébrica destas equações fornece:

$\arctan {\frac {a_{1}}{b_{1}}}+\arctan {\frac {a_{2}}{b_{2}}}=\arctan {\frac {a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}}{b_{1}b_{2}-a_{1}a_{2}}}.$

Aplicando esta equação temos:

$2\arctan {\frac {1}{5}}$

$=\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {1}{5}}$

$=\arctan {\frac {1*5+1*5}{5*5-1*1}}$

$=\arctan {\frac {10}{24}}$

$=\arctan {\frac {5}{12}}$

$4\arctan {\frac {1}{5}}$

$=2\arctan {\frac {1}{5}}+2\arctan {\frac {1}{5}}$

$=\arctan {\frac {5}{12}}+\arctan {\frac {5}{12}}$

$=\arctan {\frac {5*12+5*12}{12*12-5*5}}$

$=\arctan {\frac {120}{119}}$

$4\arctan {\frac {1}{5}}-{\frac {\pi }{4}}$

$=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{1}}$

$=4\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {-1}{1}}$

$=\arctan {\frac {120}{119}}+\arctan {\frac {-1}{1}}$

$=\arctan {\frac {120*1+(-1)*119}{119*1-120*(-1)}}$

$=\arctan {\frac {1}{239}}$

${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$.

Referências

• GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo, vol. 4. 3ª edição. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora, 1999.