Fator automórfico

Em matemática, um fator automórfico é um certo tipo de função analítica, definida sobre subgrupos de SL₂(R), aparecendo na teoria de formas modulares. O caso geral, para grupos gerais, é apresentado no artigo 'fator de automorfia'.

Definição

Um fator automórfico de peso k é uma função

$\nu :\Gamma \times \mathbb {H} \to \mathbb {C}$

satisfazendo as quatro propriedades dadas abaixo. Aqui, a notação $\mathbb {H}$ e $\mathbb {C}$ refere-se ao meio plano superior e ao plano complexo, respectivamente. A notação $\Gamma$ é um subgrupo de SL(2,R), tal como, por exemplo, um grupo fuchsiano. Um elemento $\gamma \in \Gamma$ é uma matriz 2x2

$\gamma =\left[{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right]$

com $a,b,c,d$ números reais, satisfazendo $ad-bc=1$.

Um fator automórfico deve satisfazer:

1. Para um determinado $\gamma \in \Gamma$, a função $\nu (\gamma ,z)$ é uma função holomorfa de $z\in \mathbb {H}$.

2. Para todo $z\in \mathbb {H}$ e $\gamma \in \Gamma$, tem-se

$\vert \nu (\gamma ,z)\vert =\vert cz+d\vert ^{k}$

para um determinado número real k.

3. Para todo $z\in \mathbb {H}$ e $\gamma ,\delta \in \Gamma$, tem-se

$\nu (\gamma \delta ,z)=\nu (\gamma ,\delta z)\nu (\delta ,z)$

Aqui, $\delta z$ é a transformação de Möbius, ou transformação linear fracional de $z$ por $\delta$.

4.Se $-I\in \Gamma$, então para todo $z\in \mathbb {H}$ e $\gamma \in \Gamma$, tem-se

$\nu (-\gamma ,z)=\nu (\gamma ,z)$

Aqui, I denota a matriz identidade.

Propriedades

Cada fator automórfico pode ser escrito como

$\nu (\gamma ,z)=\upsilon (\gamma )(cz+d)^{k}$

com

$\vert \upsilon (\gamma )\vert =1$

A função $\upsilon :\Gamma \to S^{1}$ é chamada um sistema multiplicador. Claramente,

$\upsilon (I)=1$,

enquanto, se $-I\in \Gamma$, então

$\upsilon (-I)=e^{-i\pi k}$

Desenvolvimentos

São estudados fatores automórficos de grau n de variedade complexa ou de uma superfície de Riemann compacta.

Referências

• Robert Rankin, Modular Forms and Functions, (1977) Cambridge University Press ISBN 0-521-21212-X. (O capítulo 3 é inteiramente dedicado a fatores automórficos para o grupo modular.)