Função meromorfa

Em análise complexa, uma função complexa $f(z)$ é dita meromorfa em uma região $\Omega$ se for analítica (isto é, holomorfa) nessa região, à exceção de polos isolados.

De forma mais precisa, se $\Omega$ for um aberto conexo não vazio de $\mathbb {C}$, diz-se que uma função $f$ definida num subconjunto de $\Omega$ com valores em $\mathbb {C}$ é meromorfa se:

• o domínio de $f$ é da forma $\Omega$ \ $D$, onde $D$ é uma parte fechada e discreta de $\Omega$;
• $f$ é holomorfa;
• $f$ tem um polo em cada $z_{0}$ ∈ $D$.

Exemplos

• Qualquer função holomorfa é meromorfa.
• A função $f$ de $\mathbb {C} \backslash \{0\}$ em $\mathbb {C}$ definida por $f(z)=1/z$ é uma função meromorfa de $\mathbb {C}$ em $\mathbb {C}$.
• A função $f$ de $\mathbb {C} \backslash {\big (}\{0\}\cup \{1/n\ |\ n\in \mathbb {Z} \}{\big )}$ em $\mathbb {C}$ definida por $f(z)=1/\mathrm {sen} (\pi /z)$ não é uma função meromorfa de $\mathbb {C}$ em $\mathbb {C}$, pois $\{0\}\cup \{1/n\ |n\in \mathbb {Z} \}$ não é um conjunto discreto (pois $0$ é um ponto de acumulação). Mas $f$ é uma função meromorfa de $\mathbb {C} \backslash \{0\}$ em $\mathbb {C}$ (pois agora o conjunto dos polos de $f$ é discreto).
• A função $f$ de $\mathbb {C} \backslash \{0\}$ em $\mathbb {C}$ definida por $f(z)=e^{1/z}$ não é uma função meromorfa de $\mathbb {C}$ em $\mathbb {C}$, pois não tem um polo em $0$.

Propriedades

Seja $\Omega$ um aberto conexo não vazio de $\mathbb {C}$ e sejam $f$ e $g$ duas funções meromorfas de $\Omega$ em $\mathbb {C}$. A função $f$ tem por domínio um conjunto da forma $\Omega$ \ $D_{f}$ e a função $g$ tem por domínio um conjunto da forma $\Omega \backslash D_{g}$, sendo $D_{f}$ e $D_{g}$ conjuntos fechados e discretos. Começa-se por definir $f+g$ em $\Omega \backslash (D_{f}\cup D_{g})$ da maneira usual: $(f+g)(z)=f(z)+g(z)$. Para cada $z_{0}\in D_{f}\cup D_{g}$, é possível que exista o limite

$\lim _{z\to z_{0}}{\Big [}f(z)+g(z){\Big ]}$;

se for esse o caso, define-se $(f+g)(z_{0})$ como sendo esse limite. Definindo $f+g$ desse modo, então tem-se novamente uma função meromorfa. Pode-se definir analogamente as funções $f-g$, $f\cdot g$ e $f/g$ (esta última caso $g$ não seja a função nula). Com estas operações, o conjunto das funções meromorfas de $\Omega$ em $\mathbb {C}$ passa a ter uma estrutura de corpo.

O quociente de duas funções holomorfas é uma função meromorfa. Reciprocamente, qualquer função meromorfa pode ser expressa como o quociente de duas funções holomorfas.

Bibliografia

• Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis (3ª ed) (em inglês). [S.l.]: McGraw-Hill Book Company