Função mundo de Synge

Em relatividade geral, a função mundo de Synge é um exemplo de um bitensor, isto é, uma função tensorial de pares de pontos no espaço-tempo.

Definição

Sejam $x,x'$ dois pontos no espaço-tempo, e suponha $x$ pertence a uma vizinhança normal convexa de $x$, de modo que exista uma $\gamma (\lambda )$ geodésica única de $x$ para $x'$, até o afim parâmetro $\lambda$. Suponha que $\gamma (\lambda _{0})=x'$ e $\gamma (\lambda _{1})=x$. Em seguida, a função mundo de Synge é definido como:

$\sigma (x,x')={\frac {1}{2}}(\lambda _{1}-\lambda _{0})\int _{\gamma }g_{\mu \nu }(z)t^{\mu }t^{\nu }d\lambda$

onde $t^{\mu }={\frac {dz^{\mu }}{d\lambda }}$ é o vetor tangente ao $\gamma (\lambda )$ geodésico afinadamente parametrizado. Isso é, $\sigma (x,x')$ é metade do quadrado do comprimento geodésico de $x$ a $x'$.

A função mundo de Synge é bem definida, já que a integral acima é invariante sob reparametrização. Em particular, para o espaço-tempo de Minkowski, a função mundo de Synge simplifica para metade do intervalo de espaço-tempo entre os dois pontos:

$\sigma (x,x')={\frac {1}{2}}\eta _{\alpha \beta }(x-x')^{\alpha }(x-x')^{\beta }$