Hiperbolicidade parcial
Em matemática, e especificamente na teoria dos sistemas dinâmicos, hiperbolicidade parcial é uma generalização do conceito de hiperbolicidade. Um difeomorfismo é dito parcialmente hiperbólico caso exista uma decomposição invariante do seu espaço tangente que satisfaz algumas propriedades de dominação. Além disto, a hiperbolicidade parcial é uma propriedade robusta, isto é, o conjunto de todos os difeomorfismos parcialmente hiperbólicos sobre uma variedade compacta M formam um subconjunto aberto do espaço dos difeomorfismos suaves sobre M.
Definição[editar | editar código-fonte]
Sejam uma variedade suave e compacta e um difeomorfismo de classe , com . f é chamada de função parcialmente hiperbólica caso para todo ponto existam distribuições E e F satisfazendo , e
- dxf(E(x))=E(f(x)), e dxf(F(x))=F(f(x)) (invariância de E e F).
Além disto, existem constantes e tais que, para todo n e ;
- , se , e
- , se .
Propriedades[editar | editar código-fonte]
- Caso , o subespaço E(x) é chamado de espaço estável, e é denotado por . Além disto, a distribuição é integrável, e as folhas resultantes são chamadas de folhas estáveis.
- Caso , o subespaço F(x) é chamado de espaço instável, e é denotado por . Além disto, a distribuição é integrável, e as folhas resultantes são chamadas de folhas estáveis.
- É possível mostrar, que sobre uma variedade compacta M, os difeomorfismos de classe parcialmente hiperbólicos formam um subconjunto aberto do conjunto dos difeomorfismos de classe de M em M, onde .
- Brin [1] mostrou que as distribuições E(x) e F são contínuas no sentido de Hölder.
Questões Importantes[editar | editar código-fonte]
Ao contrário do que ocorre no caso de um difeomorfismo hiperbólico, nem sempre um difeomorfismo parcialmente hiperbólico possui variedades invariantes para suas distribuições, isto é; as variedades integrais de E e F. No caso em que E possui codimensão 1, sabe-se que existe uma variedade invariante para E, apesar desta nem sempre ser única. Existe uma propriedade denominada "acessibilidade" que pode ser definida para um sistema parcialmente hiperbólico, e que no contexto dos difeomorfismos conservativos está relacionada a ergodicidade estável de uma aplicação parcialmente hiperbólica.
Referências
- ↑ M. Brin, Hölder continuity od invariant distribuitions. Smooth ergodic theory and applications, A. Katok, R. de la Llave, Ya. Pesin e H. Weiss eds., Proc. Symp. Pure Matht., American Mathematical Society, (2001).
2. Pesin, Yakov, Lectures on partial hyperbolicity and stable ergodicity. Zurich lectures in advanced mathematics, (2000).
3 ScholarPedia: Hiperbolicidade Parcial, http://scholarpedia.org/article/Partial_Hyperbolicity.