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A Hipocicloide é uma curva cíclica definida por um ponto de uma circunferência que rola, sem deslizar, dentro de um círculo diretor[ 1]
Uma Hipocicloide pode ser definida pelas seguintes equações paramétricas:
f
(
θ
)
=
(
R
−
r
)
cos
θ
+
r
cos
(
R
−
r
r
θ
)
(
1
)
{\displaystyle f(\theta )=(R-r)\cos \theta +r\cos({\frac {R-r}{r}}\theta )\,\qquad (1)}
g
(
θ
)
=
(
R
−
r
)
sen
θ
−
r
sen
(
R
−
r
r
θ
)
(
2
)
{\displaystyle g(\theta )=(R-r)\operatorname {sen} \theta -r\operatorname {sen}({\frac {R-r}{r}}\theta )\,\qquad (2)}
em que
R
,
{\displaystyle R,}
r
,
{\displaystyle r,}
k
=
R
r
{\displaystyle k={R \over r}}
f
(
θ
)
=
r
(
k
−
1
)
cos
θ
+
r
cos
(
(
k
−
1
)
θ
)
{\displaystyle f(\theta )=r(k-1)\cos \theta +r\cos \left((k-1)\theta \right)\,}
g
(
θ
)
=
r
(
k
−
1
)
sen
θ
−
r
sen
(
(
k
−
1
)
θ
)
.
{\displaystyle g(\theta )=r(k-1)\operatorname {sen} \theta -r\operatorname {sen} \left((k-1)\theta \right).\,}
Evoluta de uma hipocicloide com k = 5 e r = 5. Na geometria diferencial de curvas, a evoluta da curva é o local de todos os seus centros de curvatura.
A evoluta de uma hipocicloide é outra hipocicloide, como pode-se observar na figura ao lado.
A evoluta de uma hipocicloide pode ser descrita pelas seguintes equações paramétricas:
X
e
(
θ
)
=
f
(
θ
)
−
(
f
′
2
(
θ
)
+
g
′
2
(
θ
)
)
g
′
(
θ
)
f
′
(
θ
)
g
″
(
θ
)
−
f
″
(
θ
)
g
′
(
θ
)
{\displaystyle X_{e}(\theta )=f(\theta )-{\frac {(f'^{2}(\theta )+g'^{2}(\theta ))g'(\theta )}{f'(\theta )g''(\theta )-f''(\theta )g'(\theta )}}\,}
Y
e
(
θ
)
=
g
(
θ
)
−
(
f
′
2
(
θ
)
+
g
′
2
(
θ
)
)
f
′
(
θ
)
f
′
(
θ
)
g
″
(
θ
)
−
f
″
(
θ
)
g
′
(
θ
)
{\displaystyle Y_{e}(\theta )=g(\theta )-{\frac {(f'^{2}(\theta )+g'^{2}(\theta ))f'(\theta )}{f'(\theta )g''(\theta )-f''(\theta )g'(\theta )}}\,}
Involuta de uma hipocicloide com k = 5 e r = 5 A involuta de uma hipocicloide é outra hipocicloide, como pode-se observar na figura ao lado.
A involuta de uma hipocicloide pode ser descrita pelas seguintes equações paramétricas:
X
i
(
θ
)
=
f
(
θ
)
−
s
f
′
(
θ
)
f
′
2
(
θ
)
+
g
′
2
(
θ
)
{\displaystyle X_{i}(\theta )=f(\theta )-{\frac {sf'(\theta )}{\sqrt {f'^{2}(\theta )+g'^{2}(\theta )}}}\,}
Y
i
(
θ
)
=
g
(
θ
)
−
s
g
′
(
θ
)
(
f
′
2
(
θ
)
+
g
′
2
(
θ
)
{\displaystyle Y_{i}(\theta )=g(\theta )-{\frac {sg'(\theta )}{\sqrt {(f'^{2}(\theta )+g'^{2}(\theta )}}}\,}
em que
s
{\displaystyle s}
s
=
∫
0
θ
f
′
2
(
θ
)
+
g
′
2
(
θ
)
d
θ
{\displaystyle s=\int _{0}^{\theta }{\sqrt {f'^{2}(\theta )+g'^{2}(\theta )}}d\theta \,}
Hipocicloide Encurtada Se o ponto da curva estiver dentro da circunferência, a curva descrita será uma hipocicloide encurtada, como na figura ao lado (curva vermelha)[ 2]
Hipocicloide Alongada Se o ponto da curva estiver fora da circunferência, a curva descrita será uma hipocicloide alongada, como na figura ao lado (curva vermelha).[ 2]
Exemplos de hipocicloides
k=5
k=6
k=2.1
k=3.8
k=5.5
k=7.2
Referências
↑ Carvalho, Benjamim - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1988, cap. 13, p. 288↑ a b [1] Curvas cíclicas. Página acessada em 24-07-2011. [2] Animação da cicloide, epicicloide, hipocicloide. Página acessada em 24-07-2011.[3] Movimentos com vínculos, página visitada em 20-07-2011.
