Implicação material (regra de inferência)

Na lógica proposicional, implicação material  é uma regra de substituição válida que permite que uma sentença condicional seja substituída por uma disjunção em que o antecedente é negado. A regra determina que P implica Q é logicamente equivalente à não-P ou Q e pode substituir o outro em provas lógicas.

$P\to Q\Leftrightarrow \neg P\lor Q$

Onde "$\Leftrightarrow$"é um símbolo metalógico que representa "pode ser substituído em uma prova."

Notação Formal

A regra da implicação material pode ser escrita em notação de sequente:

$(P\to Q)\vdash (\neg P\lor Q)$

onde ${\displaystyle \vdash }$ é um símbolo metalógico significando que $(\neg P\lor Q)$ é uma consequência lógica de $(P\to Q)$ em alguns sistemas lógicos;

ou na regra de inferência:

${\frac {P\to Q}{\neg P\lor Q}}$

onde a regra é que, sempre que uma instância de "${\displaystyle (P\to Q)}$"é exibida em uma linha de uma prova, ela pode ser substituída por "$\neg P\lor Q$";

ou como a afirmação de uma verdade-funcional, tautologia ou teorema da lógica proposicional:

$(P\to Q)\to (\neg P\lor Q)$

Exemplo

Um exemplo é:

Se ele é um urso (P), então ele pode nadar (Q).

Assim, ele não é um urso ou ele pode nadar.

Se for descoberto que o urso não podia nadar, escrito simbolicamente como $P\land \neg Q$, ambas as sentenças são falsas, mas caso contrário, elas são ambas verdadeiras.