Integral Gaussiana

O gráfico de ƒ(x) = e^−x2 e a área entre a função e o eixo x, que vale $\scriptstyle {\sqrt {\pi }}$.

A Integral Gaussiana, também conhecida como a Integral de Euler-Poisson é a integral da função Gaussiana e^−x2 em toda a reta real. Seu nome é dado em homenagem ao matemático e físico Carl Friedrich Gauss. A integral vale:

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.$

Essa integral tem diversas aplicações em ciências exatas, como física ou estatística, visto que a distribuição normal descreve uma gama imensa de fenômenos de interesse.

A mesma integral com limites finitos é chada função erro. Apesar da função erro não poder ser exprimida em termos de funções elementares, como pode ser demonstrado pelo algoritmo de Risch, a integral gaussiana pode ser calculada explicitamente sobre toda a reta. Em outros termos, não há uma integral indefinida elementar para $\scriptstyle \int e^{-x^{2}}\,dx$, mas a integral definida $\scriptstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx$ pode ser calculada.

Generalizações

A integral de uma função gaussiana

A integral de uma função gaussiana arbitrária é obtida por simples troca de variáveis

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(x+b)^{2}/c^{2}}\,dx=c{\sqrt {\pi }}.$

ou de forma equivalente

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}+bx+c}\,dx={\sqrt {\pi }}\,e^{b^{2}/4+c},$

Demonstração

Em coordenadas polares

Uma forma simples se calcular, cuja ideia remonta a Siméon Denis Poisson é considerar a função e^{−(x2 + y2)} = e^−r2 no plano R², e calcular a mesma integral de duas formas:

• por um lado, a integral dupla no sistema de coordenadas cartesiano se escreve como um quadrado de integrais :

$\left(\int e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2};$

• por outro, utilizando coordenadas polares, a integral pode ser calculada e vale $\pi$.

Comparando esses dois cálculos, demonstra-se o resultado.

Resolução

A resolução da Integral Gaussiana pode ser dada da seguinte forma:

Denotaremos a integral por $I$, como se segue:

$I=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx.$

Essa integral é mais facilmente resolvida se a multiplicarmos pela Integral

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}\,dy.$

Observemos que essa multiplicação nos dá $I^{2}$, pois os valores das duas integrais em $y$ e em $x$ são exatamente os mesmos.

$I^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}\,dy=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}e^{-y^{2}}\,dx\,dy$

$I^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}-y^{2}}\,dx\,dy$.

A etapa seguinte consiste em mudarmos para coordenadas polares, observando que $-x^{2}-y^{2}=-(x^{2}+y^{2})=-r^{2}$. É coerente notar que a região de integração é todo o plano $xy$ , portanto $r$ deve percorrer de 0 até ${\infty }$ e o ângulo ${\theta }$ de 0 à 2${\pi }$ . Assim a integral

$I^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}-y^{2}}\,dx\,dy=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\,d{\theta }$

é mais fácil de ser calculada, pois aparece um fator $r$ que, utilizando o método de substituição de variáveis (ver Métodos de Integração) , será cancelado com o quociente 2$r$. Podemos recorrer ao Teorema de Fubini calculando primeiramente a integral em $r$ e depois integrando o resultado em ${\theta }$ da seguinte forma :

$u=-r^{2}$

$du=-2rdr$

$-{\frac {du}{2r}}=dr$

$\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\ =-\int _{0}^{\infty }e^{u}r\,{\frac {du}{2r}}\ =-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{u}\,du\ =-{\frac {1}{2}}e^{-r^{2}}|_{0}^{\infty }=-{\frac {1}{2}}(0-1)={\frac {1}{2}}.$

Teremos então:

$\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\,d{\theta }=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{2}}\,d{\theta }={\frac {1}{2}}({2\pi }-0)={\pi }.$

Portanto, finalizando a resolução, concluímos que:

$I^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}-y^{2}}\,dx\,dy=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\,d{\theta }={\pi }$

$I=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.$

Ver também

• Distribuição normal

Ligações externas

• Weisstein, Eric W. «Gaussian Integral» (em inglês). MathWorld