Jacques Herbrand

Jacques Herbrand
	Jacques HerbrandJaques Herbrand em sua última viagem de escalada de montanhas
Nascimento	12 de fevereiro de 1908; Paris
Morte	27 de julho de 1931 (23 anos); Oisans
Nacionalidade	Francês
Alma mater	Escola Normal Superior de Paris
Orientador(es)(as)	Ernest Vessiot

Jacques Herbrand (Paris, 12 de fevereiro de 1908 — Oisans, 27 de julho de 1931) foi um matemático francês. Trabalhou em lógica matemática e teoria dos corpos de classes.

Carreira[editar | editar código-fonte]

Herbrand introduziu funções recursivas em meados de 1932. A expressão teorema de Herbrand se refere a dois teoremas completamente diferentes. Um é o resultado da sua tese de doutorado em teoria da prova, e do teorema de Herbrand-Ribet. O quociente de Herbrand é um tipo de característica de Euler, usada em algebra homológica. Ele contribuiu para o programa de Hilbert nos fundamentos da matemática fornecendo uma demonstração de consistência construtiva para um sistema fraco da aritmética. A demonstração usa o supra-mencionado teorema de Herbrand em teoria da prova.

Herbrand terminou seu doutorado na École Normale Supérieure em Paris sob a orientação de Ernest Vessiot, em 1929. Entretanto, ele ingressou no exército em Outubro de 1929, e não defendeu sua tese na Sorbonne antes do ano seguinte. Ele ganhou uma bolsa Rockefeller que o permitiu estudar na Alemanha em 1931, primeiro com John von Neumann em Berlim, e em junho com Emil Artin em Hamburgo, e finalmente com Emmy Noether em Göttingen.

Ele submeteu seu principal estudo sobre da teoria da prova e funções recursivas gerais, "On the consistency of arithmetic" (Sobre a consistência da aritmética) no início de 1931. Enquanto seu ensaio estava sendo examinado, o "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I" (Sobre sentenças formalmente indecidíveis do Principia Mathematica e sistemas relacionados I) de Gödel anunciou a impossibilidade de formalizar a prova de consistência de uma teoria suficientemente forte dentro dessa própria teoria. Herbrand estudou o ensaio de Gödel e escreveu um apêndice para o seu próprio estudo explicando porque o resultado de Gödel não contradizia o seu. Em julho daquele ano ele estava escalando os Alpes franceses com dois amigos, caiu nas montanhas de granito do Massif des Écrins e morreu. "On the consistency of arithmetic" foi publicado postumamente.

Método de unificação por transformação em sistemas de equações( concebido por Jacques Herbrand em 1930)[editar | editar código-fonte]

Definição de "unificador": Seja S={ t1 = t1', ..., tn = tn'} um sistema de equações entre termos de uma assinatura L, possivelmente contendo X1,...., Xn. Uma substituição unificadora de S, ou simplesmente um unificador de S é uma substituição [s1/X1,....,sn/Xn] tal que torna todas as equações em equações entre termos idênticos.

O método da unificação de termos por transformações entre sistemas de equações é constituído de três regras básicas:

Obs. U (significa união nos exemplos abaixo)ː

(Eliminação de triviais): S U {X = X} ---> S
(Decomposição de termos): S U {f(t1,...,tn) = f(t1', ..., tn')} -----> S U { t1 = t1', ..., tn = tn'}
(Eliminação de variáveis): S U { X = t} ----> S[t/X] U {X = t}

Corretude e completude do método de unificação por transformações entre sistemas de equações[editar | editar código-fonte]

Herbrand mostrou que esse método é "correto e completo", isto é:

Se o método encontra uma substituição "J", então, aplicando J ao sistema inicial S estaremos resolvendo todas as suas equações (corretude).
Se o sistema inicial S tem uma solução "J" então o método encontra essa substituição em um número finito de aplicações de suas regras (completude).

Teorema de Herbrand[editar | editar código-fonte]

Seja S um conjunto de cláusulas numa assinatura L. Então: S é insatisfatível (não-satisfatível) se e somente se existe um conjunto finito de instâncias básicas de cláusulas de S que é insatisfatível.

ou seja:

Se um conjunto de fórmulas for insatisfatível então existe um conjunto finito de instâncias básicas dessas fórmulas que comprovam isso, isto é, é também insatisfatível (completude).
Se existe um conjunto de instancias básicas dessas fórmulas que é insatisfatível, então o conjunto em si é insatisfatível (corretude).

Citação[editar | editar código-fonte]

"Jacques Herbrand teria odiado Bourbaki" disse o matemático francês Claude Chevalley, esta citação se encontra em "Nicolas Bourbaki: Faits et légendes" Edition du Choix, 1995, de Michèle Chouchan.