Lema de Yoneda

Na teoria das categorias, o lema de Yoneda diz que há bijeção, natural no objeto $c\in C$ e no functor $F:C\to {\mathsf {Set}}$,

$$\mathrm {Nat} (\hom _{C}(c,-),F)\cong F(c),$$

levando cada transformação natural $\alpha :\hom _{C}(c,-){\dot {\to }}F$ ao elemento $\alpha _{c}(1_{c})\in F(c)$. O nome do resultado, referenciando o matemático japonês Nobuo Yoneda, foi escolhido por Saunders Mac Lane, após um encontro na França.

Imersão de Yoneda

O lema de Yoneda implica que $\mathrm {Nat} (\hom _{C}(c,-),\hom _{C}(d,-))\cong \hom _{C}(d,c)$; isto é, a imersão de Yoneda $y:C^{\mathrm {op} }\to {\mathsf {Set}}^{C}$, definida por

$$y(c)=\hom _{C}(c,-),$$

$$y(f:d\to c)=-\circ f:\hom _{C}(c,-){\dot {\to }}\hom _{C}(d,-)$$

é um functor pleno e fiel. Em particular, cada functor representável é representado por objeto único a menos de isomorfismo: $\hom _{C}(c,-)\cong \hom _{C}(d,-)$ implica $c\cong d$.

Referências

• RIEHL, Emily (2014). Category Theory in Context. [S.l.: s.n.] 
• MAC LANE, Saunders (1997). Categories for the Working Mathematician. [S.l.]: Springer. ISBN 0-387-98403-8