Polinômio de Euler

Polinômio de Euler é um polinômio assim nomeado por ter sido descoberto pelo matemático suíço Leonhard Euler. Sua característica marcante é a riqueza de propriedades aritméticas. A mais conhecida é a de ser um polinômio que quando seus valores são tabelados geram uma longa sequência de números primos.

Expresso como uma função em n, f(n), no domínio dos números inteiros toma a notação

$f(n)=n^{2}-n+41$

Há ainda mais um polinômio relacionado, que difere do primeiro por um sinal:

$f(n)=n^{2}+n+41$

Os valores são quase os mesmos, exceto que para 0 e 1 o valor não se repete e que a primalidade só vai até 39, pois ao valor 40 é atribuído o quadrado de 41.

Tabela de valores

Segue a tabela de valores para este f(n) entre 0 e 41 (sequência A005846 na OEIS):

n	f(n)	é primo
0	41	sim
1	41	sim
2	43	sim
3	47	sim
4	53	sim
5	61	sim
6	71	sim
7	83	sim
8	97	sim
9	113	sim
10	131	sim
11	151	sim
12	173	sim
13	197	sim
14	223	sim
15	251	sim
16	281	sim
17	313	sim
18	347	sim
19	383	sim
20	421	sim
21	461	sim
22	503	sim
23	547	sim
24	593	sim
25	641	sim
26	691	sim
27	743	sim
28	797	sim
29	853	sim
30	911	sim
31	971	sim
32	1033	sim
33	1097	sim
34	1163	sim
35	1231	sim
36	1301	sim
37	1373	sim
38	1447	sim
39	1523	sim
40	1601	sim
41	1681	não

Percebe-se que para 41 a expressão numérica torna-se um quadrado perfeito: $41^{2}-41+41=$ $41^{2}=1681$