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Na matemática , o primorial de um número natural n maior que 1 é denotado por
n
#
{\displaystyle n\#}
números primos menores ou iguais a n . O primorial de 1 é definido como sendo igual à unidade.
1
#
=
1
{\displaystyle 1\#=1\,}
2
#
=
2
{\displaystyle 2\#=2\,}
3
#
=
2
⋅
3
=
6
{\displaystyle 3\#=2\cdot 3=6\,}
4
#
=
2
⋅
3
=
6
{\displaystyle 4\#=2\cdot 3=6\,}
5
#
=
2
⋅
3
⋅
5
=
30
{\displaystyle 5\#=2\cdot 3\cdot 5=30\,}
6
#
=
2
⋅
3
⋅
5
=
30
{\displaystyle 6\#=2\cdot 3\cdot 5=30\,}
7
#
=
2
⋅
3
⋅
5
⋅
7
=
210
{\displaystyle 7\#=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210\,}
Eis uma tabela de primoriais. Veja também (sequência A002110 OEIS ).
p P(p)
2
2
3
6
5
30
7
210
11
2310
13
30030
17
510510
19
9699690
23
223092870
29
6469693230
31
200560490130
37
7420738134810
41
304250263527210
43
13082761331670030
47
614889782588491410
53
32589158477190044730
59
1922760350154212639070
61
117288381359406970983270
67
7858321551080267055879090
71
557940830126698960967415390
73
40729680599249024150621323470
79
3217644767340672907899084554130
83
267064515689275851355624017992790
89
23768741896345550770650537601358310
Para todo
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1\,}
n
#
<
4
n
{\displaystyle n\#<4^{n}\,}
indução matemática .
Base:
1
#
=
1
<
4
1
{\displaystyle 1\#=1<4^{1}\,}
2
#
=
2
<
4
2
{\displaystyle 2\#=2<4^{2}\,}
Indução
n
>
2
{\displaystyle n>2\,}
n é par:
n
#
=
(
n
−
1
)
#
<
2
n
−
1
<
2
n
{\displaystyle n\#=(n-1)\#<2^{n-1}<2^{n}\,}
n
>
2
{\displaystyle n>2\,}
n é ímpar, então escreve-se
n
=
2
m
+
1
{\displaystyle n=2m+1\,}
4
m
=
1
2
(
1
+
1
)
2
m
+
1
=
1
2
∑
k
=
0
2
m
+
1
(
2
m
+
1
k
)
>
1
2
(
(
2
m
+
1
m
)
+
(
2
m
+
1
m
+
1
)
)
=
(
2
m
+
1
m
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}4^{m}&={\frac {1}{2}}(1+1)^{2m+1}={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{2m+1}{\binom {2m+1}{k}}\\&>{\frac {1}{2}}{\Biggl (}{\binom {2m+1}{m}}+{\binom {2m+1}{m+1}}{\Biggr )}={\binom {2m+1}{m}}.\end{aligned}}}
Como cada número primo p ,
m
+
1
<
p
≤
2
m
+
1
{\displaystyle m+1<p\leq 2m+1\,}
(
2
m
+
1
m
+
1
)
{\displaystyle {\binom {2m+1}{m+1}}\,}
∏
p
>
m
+
1
p
≤
2
m
+
1
p
≤
(
2
m
+
1
m
)
<
4
m
.
{\displaystyle \prod _{p>m+1}^{p\leq 2m+1}p\leq {\binom {2m+1}{m}}<4^{m}.\ }
Agora, podemos estimar:
n
#
=
(
2
m
+
1
)
#
=
(
m
+
1
)
#
∏
p
>
m
+
1
p
≤
2
m
+
1
p
<
4
m
+
1
4
m
=
4
2
m
+
1
=
4
n
.
{\displaystyle n\#=(2m+1)\#=(m+1)\#\prod _{p>m+1}^{p\leq 2m+1}p<4^{m+1}4^{m}=4^{2m+1}=4^{n}.\ }
E o resultado segue.
