Produto entrelaçado

Na teoria dos grupos, o produto entrelaçado é um produto especializado de dois grupos, baseado em um produto semidireto. Os produtos entrelaçados são usados na classificação de grupos de permutação e também fornecem uma maneira de construir exemplos interessantes de grupos.

Dados dois grupos A e H, existem duas variações do produto entrelaçado: o produto entrelaçado irrestrito $A{\text{Wr}}H$ (também escrito $A\wr H$ com o símbolo de latex \wr) e o produto entrelaçado restrito A wr H. Dado um conjunto Ω com uma ação de H, existe uma generalização do produto entrelaçado que é denotada por A Wr_Ω H ou A wr_Ω H respectivamente.

A noção se generaliza para semigrupos e é uma construção central na teoria da estrutura de Krohn-Rhodes de semigrupos finitos.

Definição[editar | editar código-fonte]

Sejam A e H grupos e Ω um conjunto sobre o qual H age (pela direita). Seja K o produto direto

K=\prod _{\omega \in \Omega }A_{\omega }

de cópias de A_ω := A indexadas pelo conjunto Ω. Os elementos de K podem ser vistos como sequências arbitrárias (a_ω) de elementos de A indexados por Ω com multiplicação componente a componente. Então a ação de H sobre Ω se estende de forma natural a uma ação de H sobre o grupo K por

h(a_{\omega }):=(a_{h^{-1}\omega }).

Então, o produto entrelaçado A Wr_Ω H de A por H é o produto semidireto K ⋊ H. O subgrupo K de A Wr_Ω H é chamado de base do produto entrelaçado.

O produto entrelaçado restrito A wr_Ω H é construído da mesma maneira que o produto entrelaçado irrestrito, exceto pelo uso da soma direta

K=\bigoplus _{\omega \in \Omega }A_{\omega }

como base do produto entrelaçado. Neste caso, os elementos de K são sequências (a_ω) de elementos de A indexadas por Ω, em que todos, exceto uma quantidade finita dos a_ω, são o elemento neutro de A.

No caso mais comum, considera-se Ω := H, em que H atua de maneira natural sobre si mesmo por multiplicação à esquerda. Neste caso, os produtos entrelaçados irrestrito e restrita podem ser denotados por A Wr H e A wr H respectivamente. Isso é chamado de produto entrelaçado regular.

Notação e convenções[editar | editar código-fonte]

A estrutura do produto entrelaçado de A por H depende do H- conjunto Ω e, no caso de Ω ser infinito, também depende de ser usado o produto entrelaçado restrito ou irrestrito. No entanto, na literatura, a notação utilizada pode ser deficiente e deve-se atentar para as circunstâncias.

Na literatura, A≀_ΩH pode representar o produto entrelaçado irrestrito A Wr_Ω H ou o produto entrelaçado restrito A wr_Ω H.
Da mesma forma, A≀H pode representar o produto entrelaçado regular irrestrito A Wr H ou o produto entrelaçado regular restrito A wr H.
Na literatura, o H-conjunto Ω pode ser omitido da notação mesmo se Ω ≠ H.
No caso especial em que H = S _n é o grupo simétrico de grau n, é comum na literatura assumir que Ω = {1, ..., n} (com a ação natural de S_n) e então omitir Ω da notação. Ou seja, A≀S _n comumente denota A≀_{{1, ..., n }}S_n em vez do produto regular entrelaçado A≀_{S_n}S_n. No primeiro caso, o grupo de base é o produto de n cópias de A, no último caso é o produto de n! cópias de A.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Coincidência dos produtos entrelaçados irrestrito e restrito quando Ω é finito[editar | editar código-fonte]

Uma vez que o produto direto finito de grupos é o mesmo que a soma direta finita de grupos, segue-se que o A Wr_Ω H irrestrito e o produto entrelaçado restrito A wr_Ω H coincidem se o H-conjunto Ω é finito. Em particular, isso é verdade quando Ω = H é finito.

Subgrupo[editar | editar código-fonte]

A wr_Ω H é sempre um subgrupo de A Wr_Ω H.

Propriedades da cardinalidade[editar | editar código-fonte]

Se A, H e Ω são finitos, então

|A≀_ΩH| = |A|^|Ω||H|.^[1]

Teorema da inclusão universal[editar | editar código-fonte]

Teorema da inclusão universal: Se G é uma extensão de A por H, então existe um subgrupo do produto entrelaçado irrestrito A≀H que é isomorfo a G.^[2] Isso também é conhecido como teorema de inclusão de Krasner-Kaloujnine. O teorema de Krohn-Rhodes diz respeito ao que é basicamente o equivalente disso para semigrupos.^[3]

Ações canônicas de produtos entrelaçados[editar | editar código-fonte]

Se o grupo A age sobre um conjunto Λ, então existem duas maneiras canônicas de usar Ω e Λ para construir conjuntos em que A Wr _Ω H (e, portanto, também A wr_Ω H) possa agir.

A ação imprimitiva do produto entrelaçado em Λ × Ω.

If ((a_ω), h) ∈ A Wr_Ω H e (λ,ω′) ∈ Λ × Ω, então

((a_{\omega }),h)\cdot (\lambda ,\omega '):=(a_{h(\omega ')}\lambda ,h\omega ').

A ação primitiva do produto entrelaçado em Λ^Ω.

Um elemento em Λ^Ω é uma sequência (λ_ω) indexada pelo H-conjunto Ω. Dado um elemento (( a_ω ), h) ∈ A Wr_Ω H, sua operação em (λ_ω) ∈ Λ^Ω é dada por

((a_{\omega }),h)\cdot (\lambda _{\omega }):=(a_{h^{-1}\omega }\lambda _{h^{-1}\omega }).

Exemplos[editar | editar código-fonte]

O grupo Lamplighter é o produto entrelaçado restrito ℤ₂≀ℤ.
$ℤ m ≀ S n$ (grupo simétrico generalizado).

A base deste produto entrelaçado é o produto direto

ℤ_mⁿ = ℤ_m × ... × ℤ_m

de n cópias de ℤ_m em que a ação φ : S_n → Aut(ℤ_mⁿ) do grupo simétrico S_n de grau n é dada por

φ(σ)(α₁, ..., α_n) := (α_σ(1), ..., α_σ(n)).^[4]

S₂≀S_n (grupo hiperoctaédrico).

A ação de S_n em {1, ..., n } é como acima. Como o grupo simétrico S₂ de grau 2 é isomórfico a ℤ_2, o grupo hiperoctaédrico é um caso especial de um grupo simétrico generalizado.^[5]

O menor produto entrelaçado não trivial é ℤ₂≀ℤ₂, que é o caso bidimensional do grupo hiperoctaédrico acima. É o grupo de simetrias do quadrado, também denominado Dih₄, o grupo diedral de ordem 8.
Seja p primo e seja n≥1. Seja P um p-subgrupo de Sylow do grupo simétrico S_pⁿ. Então P é isomorfo ao produto entrelaçado regular iterado W_n = ℤ_p≀ℤ_p≀...≀ℤ_p de n cópias de ℤ_p. Aqui W₁ : = ℤ_p e W_k : = W_k−1≀ℤ _p para todo k ≥ 2.^[6]^[7] Por exemplo, o 2-subgrupo de Sylow de S₄ é o grupo ℤ₂≀ℤ₂ acima.

O grupo do cubo de Rubik é um subgrupo de índice 12 no produto de produtos entrelaçados, (ℤ₃≀S₈) × (ℤ₂≀S₁₂), cujos fatores correspondem às simetrias dos 8 cantos e das 12 arestas.

O grupo de transformações que preservam a validade de Sudoku contém o produto entrelaçado (S₃≀S₃)≀ℤ₂, em que os fatores são a permutação de linhas/colunas dentro de uma faixa ou pilha de 3 linhas ou 3 colunas (S₃), a permutação das próprias faixas/pilhas (S₃) e a transposição, que intercambia as linhas e colunas (ℤ₂).

Referências[editar | editar código-fonte]

↑ Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, p. 172 (1995)
↑ M. Krasner and L. Kaloujnine, "Produit complet des groupes de permutations et le problème d'extension de groupes III", Acta Sci. Math. Szeged 14, pp. 69–82 (1951)
↑ J D P Meldrum (1995). Wreath Products of Groups and Semigroups. Longman [UK] / Wiley [US]. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-582-02693-3
↑ J. W. Davies and A. O. Morris, "The Schur Multiplier of the Generalized Symmetric Group", J. London Math. Soc (2), 8, (1974), pp. 615–620
↑ P. Graczyk, G. Letac and H. Massam, "The Hyperoctahedral Group, Symmetric Group Representations and the Moments of the Real Wishart Distribution", J. Theoret. Probab. 18 (2005), no. 1, 1–42.
↑ Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, p. 176 (1995)
↑ L. Kaloujnine, "La structure des p-groupes de Sylow des groupes symétriques finis", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Troisième Série 65, pp. 239–276 (1948)

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Produto entrelaçado na Enciclopédia de Matemática.
Algumas aplicações da construção do produto Wreath. Arquivado em 2014-02-21 no Wayback Machine

[1] Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, p. 172 (1995)

[2] M. Krasner and L. Kaloujnine, "Produit complet des groupes de permutations et le problème d'extension de groupes III", Acta Sci. Math. Szeged 14, pp. 69–82 (1951)

[Meldrum1995-3] J D P Meldrum (1995). Wreath Products of Groups and Semigroups. Longman [UK] / Wiley [US]. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-582-02693-3

[4] J. W. Davies and A. O. Morris, "The Schur Multiplier of the Generalized Symmetric Group", J. London Math. Soc (2), 8, (1974), pp. 615–620

[5] P. Graczyk, G. Letac and H. Massam, "The Hyperoctahedral Group, Symmetric Group Representations and the Moments of the Real Wishart Distribution", J. Theoret. Probab. 18 (2005), no. 1, 1–42.

[6] Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, p. 176 (1995)

[7] L. Kaloujnine, "La structure des p-groupes de Sylow des groupes symétriques finis", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Troisième Série 65, pp. 239–276 (1948)

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