Provas de identidades trigonométricas

As principais identidades trigonométricas entre funções trigonométricas são provadas, usando principalmente a geometria do triângulo retângulo. Para ângulos maiores e negativos ver funções trigonométricas.

Identidades trigonométricas elementares

Definições

Funções trigonométricas especificam as relações entre comprimentos laterais e ângulos internos de um triângulo retângulo. Por exemplo, o seno do ângulo θ é definido como sendo o comprimento do lado oposto dividido pelo comprimento da hipotenusa.

As seis funções trigonométricas são definidas para todo número real, exceto, para algumas delas, para ângulos que diferem de 0 por um múltiplo do ângulo reto (90°). Referindo-se ao diagrama na direita, as seis funções trigonométricas de θ são, para ângulos menores que o ângulo reto:

$\sin(\theta )={\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {hypotenuse} }}={\frac {a}{h}}$

$\cos(\theta )={\frac {\mathrm {adjacent} }{\mathrm {hypotenuse} }}={\frac {b}{h}}$

$\tan(\theta )={\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {adjacent} }}={\frac {a}{b}}$

$\cot(\theta )={\frac {\mathrm {adjacent} }{\mathrm {opposite} }}={\frac {b}{a}}$

$\sec(\theta )={\frac {\mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {adjacent} }}={\frac {h}{b}}$

$\csc(\theta )={\frac {\mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {opposite} }}={\frac {h}{a}}$

Identidades de proporção

No caso de ângulos menores que um ângulo reto, as seguintes identidades são conseqüências diretas das definições acima através da identidade da divisão

${\frac {a}{b}}={\frac {\left({\frac {a}{h}}\right)}{\left({\frac {b}{h}}\right)}}.$

Elas permanecem válidas para ângulos superiores a 90° e para ângulos negativos.

$\tan(\theta )={\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {adjacent} }}={\frac {\left({\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {hypotenuse} }}\right)}{\left({\frac {\mathrm {adjacent} }{\mathrm {hypotenuse} }}\right)}}={\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}$

$\cot(\theta )={\frac {\mathrm {adjacent} }{\mathrm {opposite} }}={\frac {\left({\frac {\mathrm {adjacent} }{\mathrm {adjacent} }}\right)}{\left({\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {adjacent} }}\right)}}={\frac {1}{\tan(\theta )}}={\frac {\cos(\theta )}{\sin(\theta )}}$

$\sec(\theta )={\frac {1}{\cos(\theta )}}={\frac {\mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {adjacent} }}$

$\csc(\theta )={\frac {1}{\sin(\theta )}}={\frac {\mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {opposite} }}$

$\tan(\theta )={\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {adjacent} }}={\frac {\left({\frac {\mathrm {opposite} \times \mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {opposite} \times \mathrm {adjacent} }}\right)}{\left({\frac {\mathrm {adjacent} \times \mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {opposite} \times \mathrm {adjacent} }}\right)}}={\frac {\left({\frac {\mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {adjacent} }}\right)}{\left({\frac {\mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {opposite} }}\right)}}={\frac {\sec(\theta )}{\csc(\theta )}}$

Ou

$\tan(\theta )={\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}={\frac {\left({\frac {1}{\csc(\theta )}}\right)}{\left({\frac {1}{\sec(\theta )}}\right)}}={\frac {\left({\frac {\csc(\theta )\sec(\theta )}{\csc(\theta )}}\right)}{\left({\frac {\csc(\theta )\sec(\theta )}{\sec(\theta )}}\right)}}={\frac {\sec(\theta )}{\csc(\theta )}}$

$\cot(\theta )={\frac {\csc(\theta )}{\sec(\theta )}}$

Identidades de ângulos complementares

Dois ângulos cuja soma é π/2 radianos (90 graus) são complementares. No diagrama, os ângulos nos vértices A e B são complementares, assim podemos intercambiar a e b, mudando θ para π/2 − θ, obtendo:

$\sin \left(\pi /2-\theta \right)=\cos(\theta )$

$\cos \left(\pi /2-\theta \right)=\sin(\theta )$

$\tan \left(\pi /2-\theta \right)=\cot(\theta )$

$\cot \left(\pi /2-\theta \right)=\tan(\theta )$

$\sec \left(\pi /2-\theta \right)=\csc(\theta )$

$\csc \left(\pi /2-\theta \right)=\sec(\theta )$

Identidades pitagóricas

Identidade 1:

$\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1$

Os dois resultados a seguir seguem desta e das identidades de proporção. Para obter o primeiro, dividir ambos os lados de $\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1$ por $\cos ^{2}(x)$; para o segundo, dividir por $\sin ^{2}(x)$.

$\tan ^{2}(x)+1\ =\sec ^{2}(x)$

$1\ +\cot ^{2}(x)=\csc ^{2}(x)$

Similarmente

$1\ +\cot ^{2}(x)=\csc ^{2}(x)$

$\csc ^{2}(x)-\cot ^{2}(x)=1$

Identidade 2:

A identidade seguinte envolve todas as três funções recíprocas.

$\csc ^{2}(x)+\sec ^{2}(x)-\cot ^{2}(x)=2\ +\tan ^{2}(x)$

Prova 2:

Considerar o diagrama do triângulo acima. Notar que $a^{2}+b^{2}=h^{2}$ pelo teorema de Pitágoras.

$\csc ^{2}(x)+\sec ^{2}(x)={\frac {h^{2}}{a^{2}}}+{\frac {h^{2}}{b^{2}}}={\frac {a^{2}+b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {a^{2}+b^{2}}{b^{2}}}=2\ +{\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}$

Substituindo com funções apropriadas

$2\ +{\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2\ +\tan ^{2}(x)+\cot ^{2}(x)$

Rearranjando resulta:

$\csc ^{2}(x)+\sec ^{2}(x)-\cot ^{2}(x)=2\ +\tan ^{2}(x)$

Identidades de soma de ângulo

Seno

Ilustração da fórmula da soma.

Desenhar uma linha horizontal (o eixo x); marcar uma origem O. Desenhar uma linha de O com um ângulo $\alpha$ acima da linha horizontal e uma segunda linha com um ângulo $\beta$ acima desta; o ângulo entre a segunda linha e o eixo x é $\alpha +\beta$.

Colocar P na linha definida por $\alpha +\beta$ a uma distância unitária da origem.

Seja PQ uma linha perpendicular à linha OQ definida pelo ângulo $\alpha$, desenhado a partir do ponto Q nesta linha até o ponto P. $\therefore$ OQP é um ângulo reto.

Seja QA uma perpendicular do ponto A no eixo x para Q e seja PB uma perpendicular do ponto B no eixo x até P. $\therefore$ OAQ e OBP são ângulos retos.

Desenhar R em PB tal que QR seja paralelo ao eixo x.

Agora o ângulo $RPQ=\alpha$ (porque $OQA={\frac {\pi }{2}}-\alpha$, fazendo $RQO=\alpha ,RQP={\frac {\pi }{2}}-\alpha$, e finalmente $RPQ=\alpha$)

$RPQ={\tfrac {\pi }{2}}-RQP={\tfrac {\pi }{2}}-({\tfrac {\pi }{2}}-RQO)=RQO=\alpha$

$OP=1$

$PQ=\sin(\beta )$

$OQ=\cos(\beta )$

${\frac {AQ}{OQ}}=\sin(\alpha )$, então $AQ=\sin(\alpha )\cos(\beta )$

${\frac {PR}{PQ}}=\cos(\alpha )$, então $PR=\cos(\alpha )\sin(\beta )$

$\sin(\alpha +\beta )=PB=RB+PR=AQ+PR=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\cos(\alpha )\sin(\beta )$

Substituindo $-\beta$ em lugar de $\beta$ e usando simetria resulta

$\sin(\alpha -\beta )=\sin(\alpha )\cos(-\beta )+\cos(\alpha )\sin(-\beta )$

$\sin(\alpha -\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )-\cos(\alpha )\sin(\beta )$

Outra prova rigorosa, e bem mais simples, pode ser obtida usando a fórmula de Euler, conhecida da análise complexa. A fórmula de Euler estabelece que

$e^{i\varphi }=\cos(\varphi )+i\sin(\varphi )$

Segue que para ângulos $\alpha$ e $\beta$ resulta:

$e^{i(\alpha +\beta )}=\cos(\alpha +\beta )+i\sin(\alpha +\beta )$

Também, usando as seguintes propriedades de funções exponenciais:

$e^{i(\alpha +\beta )}=e^{i\alpha }e^{i\beta }=(\cos(\alpha )+i\sin(\alpha ))(\cos(\beta )+i\sin(\beta ))$

Manipulando o produto:

$e^{i(\alpha +\beta )}=(\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta ))+i(\sin(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\beta )\cos(\alpha ))$

Igualando as partes real e imaginária:

$\cos(\alpha +\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta )$

$\sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\beta )\cos(\alpha )$

Cosseno

Observando a figura acima,

$OP=1$

$PQ=\sin(\beta )$

$OQ=\cos(\beta )$

${\frac {OA}{OQ}}=\cos(\alpha )$, então $OA=\cos(\alpha )\cos(\beta )$

${\frac {RQ}{PQ}}=\sin(\alpha )$, então $RQ=\sin(\alpha )\sin(\beta )$

$\cos(\alpha +\beta )=OB=OA-BA=OA-RQ=\cos(\alpha )\cos(\beta )\ -\sin(\alpha )\sin(\beta )$

Substituindo $-\beta$ por $\beta$ e usando simetria é obtido:

$\cos(\alpha -\beta )=\cos(\alpha )\cos(-\beta )-\sin(\alpha )\sin(-\beta ),$

$\cos(\alpha -\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )$

Usando as fórmulas para ângulos complementares,

${\begin{aligned}\cos(\alpha +\beta )&=\sin \left(\pi /2-(\alpha +\beta )\right)\\&=\sin \left((\pi /2-\alpha )-\beta \right)\\&=\sin \left(\pi /2-\alpha \right)\cos(\beta )-\cos \left(\pi /2-\alpha \right)\sin(\beta )\\&=\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta )\\\end{aligned}}$

Tangente e cotangente

Das fórmulas para seno e cosseno resulta

$\tan(\alpha +\beta )={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}={\frac {\sin(\alpha )\cos(\beta )+\cos(\alpha )\sin(\beta )}{\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta )}}$

Dividindo numerador e denominador por $\cos(\alpha )\cos(\beta )$, resulta

$\tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan(\alpha )+\tan(\beta )}{1-\tan(\alpha )\tan(\beta )}}$

Subtraindo $\beta$ de $\alpha$, usando $\tan(-\beta )=-\tan(\beta )$,

$\tan(\alpha -\beta )={\frac {\tan(\alpha )+\tan(-\beta )}{1-\tan(\alpha )\tan(-\beta )}}={\frac {\tan(\alpha )-\tan(\beta )}{1+\tan(\alpha )\tan(\beta )}}$

Similarmente, das fórmulas para seno e cosseno resulta

$\cot(\alpha +\beta )={\frac {\cos(\alpha +\beta )}{\sin(\alpha +\beta )}}={\frac {\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta )}{\sin(\alpha )\cos(\beta )+\cos(\alpha )\sin(\beta )}}$

Dividindo então numerador e denominador por $\sin(\alpha )\sin(\beta )$, resulta

$\cot(\alpha +\beta )={\frac {\cot(\alpha )\cot(\beta )-1}{\cot(\alpha )+\cot(\beta )}}$

Ou, usando $\cot(\theta )={\frac {1}{\tan(\theta )}}$,

$\cot(\alpha +\beta )={\frac {1-\tan(\alpha )\tan(\beta )}{\tan(\alpha )+\tan(\beta )}}={\frac {{\frac {1}{\tan(\alpha )\tan(\beta )}}-1}{{\frac {1}{\tan(\alpha )}}+{\frac {1}{\tan(\beta )}}}}={\frac {\cot(\alpha )\cot(\beta )-1}{\cot(\alpha )+\cot(\beta )}}$

Usando $\cot(-\beta )=-\cot(\beta )$,

$\cot(\alpha -\beta )={\frac {\cot(\alpha )\cot(-\beta )-1}{\cot(\alpha )+\cot(-\beta )}}={\frac {\cot(\alpha )\cot(\beta )+1}{\cot(\beta )-\cot(\alpha )}}$

Identidades de ângulo duplo

Das identidades para soma de ângulos resulta

$\sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta )$

e

$\cos(2\theta )=\cos ^{2}(\theta )-\sin ^{2}(\theta )$

As identidades pitagóricas dão as duas formas alternativas para a último destes:

$\cos(2\theta )=2\cos ^{2}(\theta )-1$

$\cos(2\theta )=1-2\sin ^{2}(\theta )$

As identidades de soma dos ângulos também fornecem

$\tan(2\theta )={\frac {2\tan(\theta )}{1-\tan ^{2}\theta }}={\frac {2}{\cot(\theta )-\tan(\theta )}}$

$\cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot(\theta )}}={\frac {\cot(\theta )-\tan(\theta )}{2}}$

Também pode ser provado usando a fórmula de Euler

$e^{i\varphi }=\cos(\varphi )+i\sin(\varphi )$

Elevando ambos os lados ao quadrado

$e^{i2\varphi }=(\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))^{2}$

Substituindo o ângulo pela sua versão dupla, que fornece o mesmo resultado no lado esquerdo da equação, resulta

$e^{i2\varphi }=\cos(2\varphi )+i\sin(2\varphi )$

Segue que

$(\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))^{2}=\cos(2\varphi )+i\sin(2\varphi )$.

Expandindo o quadrado e simplificando no lado esquerdo da equação resulta

$i(2\sin(\varphi )\cos(\varphi ))+\cos ^{2}(\varphi )-\sin ^{2}(\varphi )\ =\cos(2\varphi )+i\sin(2\varphi )$.

Como as partes real e imaginária da equação devem ser iguais, resulta

$\cos ^{2}(\varphi )-\sin ^{2}(\varphi )\ =\cos(2\varphi )$,

e

$2\sin(\varphi )\cos(\varphi )=\sin(2\varphi )$.

Identidades do ângulo metade

As duas identidades que fornecem as formas alternativas para cos(2θ) levam às seguintes equações:

$\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos(\theta )}{2}}},$

$\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos(\theta )}{2}}}.$

O sinal da raiz quadrada deve ser escolhido adequadamente—notar que se 2π é adicionado a θ, as quantidades na raiz quadrada não são alteradas, mas os lados esquerdos das equações mudam de sinal. Assim, o sinal correto a usar depende do valor de θ.

Para a função tangente a equação é:

$\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos(\theta )}{1+\cos(\theta )}}}.$

Multiplicando então o numerador e o denominador dentro da raiz quadrada por (1 + cos(θ)) e usando identidades pitagóricas leva a

$\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {\sin(\theta )}{1+\cos(\theta )}}.$

Além disso, se o numerador e o denominador forem ambos multiplicados por (1 - cos(θ)), o resultado é

$\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1-\cos(\theta )}{\sin(\theta )}}.$

Isso também fornece

$\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)=\csc(\theta )-\cot(\theta ).$

Manipulações similares para a função cot fornecem

$\cot \left({\frac {\theta }{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos(\theta )}{1-\cos(\theta )}}}={\frac {1+\cos(\theta )}{\sin(\theta )}}={\frac {\sin(\theta )}{1-\cos(\theta )}}=\csc(\theta )+\cot(\theta ).$

Diversos - a identidade da tripla tangente

Se $\psi +\theta +\phi =\pi =$ meia circunferência (por exemplo, $\psi$, $\theta$ e $\phi$ são os ângulos de um triângulo),

$\tan(\psi )+\tan(\theta )+\tan(\phi )=\tan(\psi )\tan(\theta )\tan(\phi ).$

Prova:

${\begin{aligned}\psi &=\pi -\theta -\phi \\\tan(\psi )&=\tan(\pi -\theta -\phi )\\&=-\tan(\theta +\phi )\\&={\frac {-\tan(\theta )-\tan(\phi )}{1-\tan(\theta )\tan(\phi )}}\\&={\frac {\tan(\theta )+\tan(\phi )}{\tan(\theta )\tan(\phi )-1}}\\(\tan(\theta )\tan(\phi )-1)\tan(\psi )&=\tan(\theta )+\tan(\phi )\\\tan(\psi )\tan(\theta )\tan(\phi )-\tan(\psi )&=\tan(\theta )+\tan(\phi )\\\tan(\psi )\tan(\theta )\tan(\phi )&=\tan(\psi )+\tan(\theta )+\tan(\phi )\\\end{aligned}}$

Diversos - a identidade da tripla cotangente

Se $\psi +\theta +\phi ={\tfrac {\pi }{2}}=$ um quarto de circunferência,

$\cot(\psi )+\cot(\theta )+\cot(\phi )=\cot(\psi )\cot(\theta )\cot(\phi )$.

Prova: Substituir cada um dos $\psi$, $\theta$ e $\phi$ com seus ângulos complementares, então as cotangentes se transformam em tangentes e vice-versa.

Dado

$\psi +\theta +\phi ={\tfrac {\pi }{2}}$

$\therefore ({\tfrac {\pi }{2}}-\psi )+({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )+({\tfrac {\pi }{2}}-\phi )={\tfrac {3\pi }{2}}-(\psi +\theta +\phi )={\tfrac {3\pi }{2}}-{\tfrac {\pi }{2}}=\pi$

então o resultado segue da identidade da tripla tangente.

Identidades soma para produto

• $\sin(\theta )\pm \cos(\phi )=2\sin \left({\frac {\theta \pm \phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \phi }{2}}\right)$
• $\cos(\theta )+\cos(\phi )=2\cos \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)$
• $\cos(\theta )-\cos(\phi )=-2\sin \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)$

Prova de identidades senoidais

Iniciar com as identidades da soma de ângulos

$\sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\cos(\alpha )\sin(\beta )$

$\sin(\alpha -\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )-\cos(\alpha )\sin(\beta )$

Adicionando ambas resulta

$\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\cos(\alpha )\sin(\beta )+\sin(\alpha )\cos(\beta )-\cos(\alpha )\sin(\beta )=2\sin(\alpha )\cos(\beta )$

Similarmente, subtraindo as duas identidades de soma de ângulos

$\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\cos(\alpha )\sin(\beta )-\sin(\alpha )\cos(\beta )+\cos(\alpha )\sin(\beta )=2\cos(\alpha )\sin(\beta )$

Sejam $\alpha +\beta =\theta$ e $\alpha -\beta =\phi$,

$\therefore \alpha ={\frac {\theta +\phi }{2}}$ e $\beta ={\frac {\theta -\phi }{2}}$

Substituindo $\theta$ e $\phi$

$\sin(\theta )+\cos(\phi )=2\sin \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)$

$\sin(\theta )-\cos(\phi )=2\cos \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)=2\sin \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)$

Portanto,

$\sin(\theta )\pm \cos(\phi )=2\sin \left({\frac {\theta \pm \phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \phi }{2}}\right)$

Prova de identidades cossenoidais

Similarmente para cossenos, começando com as identidades de soma de ângulos

$\cos(\alpha +\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )\ -\sin(\alpha )\sin(\beta )$

$\cos(\alpha -\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )$

Novamente, adicionando e subtraindo

$\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )\ -\sin(\alpha )\sin(\beta )+\cos(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )=2\cos(\alpha )\cos(\beta )$

$\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )\ -\sin(\alpha )\sin(\beta )-\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta )=-2\sin(\alpha )\sin(\beta )$

Substituindo $\theta$ e $\phi$ como antes

$\cos(\theta )+\cos(\phi )=2\cos \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)$

$\cos(\theta )-\cos(\phi )=-2\sin \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)$

Desigualdades

Ilustração das desigualdades seno e tangente.

A figura na direita mostra um setor de um círculo com raio 1. O setor é θ/(2π) de todo o círculo, portanto sua área é θ/2. É assumido que θ < π/2.

$OA=OD=1$

$AB=\sin(\theta )$

$CD=\tan(\theta )$

A área do triângulo OAD é AB/2, ou sin(θ)/2. A área do triângulo OCD é CD/2, oo tan(θ)/2.

Como o triângulo OAD está completamente dentro do setor, que por sua vez fica completamente dentro do triângulo OCD, temos

$\sin(\theta )<\theta <\tan(\theta ).$

Este argumento geométrico baseia-se nas definições de comprimento do arco e área, que atuam como premissas, portanto é mais uma condição imposta na construção de funções trigonométricas do que uma propriedade comprovável. Para a função seno podemos lidar com outros valores. Se θ > π/2, então θ > 1. Mas sin θ ≤ 1 (por causa da identidade pitagórica), então sin θ < θ. Temos então

${\frac {\sin(\theta )}{\theta }}<1\ \ \ \mathrm {if} \ \ \ 0<\theta .$

Para valores negativos de θ temos, pela simetria da função seno

${\frac {\sin(\theta )}{\theta }}={\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}<1.$

Então

${\frac {\sin(\theta )}{\theta }}<1\quad {\text{se }}\quad \theta \neq 0,$

e

${\frac {\tan(\theta )}{\theta }}>1\quad {\text{se }}\quad 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}.$

Identidades envolvendo cálculo

Preliminares

$\lim _{\theta \to 0}{\sin(\theta )}=0$

$\lim _{\theta \to 0}{\cos(\theta )}=1$

Identidade da razão seno e ângulo

$\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}=1.$

Em outras palavras, a função seno é diferenciável em 0, e sua derivada é 1.

Prova: Das desigualdades prévias temos, para ângulos pequenos,

$\sin(\theta )<\theta <\tan(\theta )$,

e portanto

${\frac {\sin(\theta )}{\theta }}<1<{\frac {\tan(\theta )}{\theta }}$,

e consideremos a desigualdade do lado direito. Como

$\tan(\theta )={\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}$

$\therefore 1<{\frac {\sin(\theta )}{\theta \cos(\theta )}}.$

Multiplicando por $\cos(\theta )$

$\cos(\theta )<{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}.$

Combinando com a desigualdade do lado esquerdo:

$\cos(\theta )<{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}<1.$

Tomando $\cos(\theta )$ no limite $\theta \to 0$

$\lim _{\theta \to 0}{\cos(\theta )}=1.$

Portanto,

$\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}=1$

Identidade da razão cosseno e ângulo

$\lim _{\theta \to 0}{\frac {1-\cos(\theta )}{\theta }}=0$

Prova:

${\begin{aligned}{\frac {1-\cos(\theta )}{\theta }}&={\frac {1-\cos ^{2}(\theta )}{\theta (1+\cos(\theta ))}}\\&={\frac {\sin ^{2}(\theta )}{\theta (1+\cos(\theta ))}}\\&=\left({\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\right)\times \sin(\theta )\times \left({\frac {1}{1+\cos(\theta )}}\right)\\\end{aligned}}$

Os limites destas três quantidades são 1, 0 e 1/2, então o limite resultante é zero.

Identidade da razão cosseno e quadrado do ângulo

$\lim _{\theta \to 0}{\frac {1-\cos(\theta )}{\theta ^{2}}}={\frac {1}{2}}$

Prova:

Como na prova precedente,

${\frac {1-\cos(\theta )}{\theta ^{2}}}={\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\times {\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\times {\frac {1}{1+\cos(\theta )}}.$

Os limites destas três quantidades são 1, 1 e 1/2, então o limite resultante é 1/2.

Prova de composições de funções trigonométricas e trigonométricas inversas

Todas estas funções seguem da identidade trigonométrica pitagórica. Podemos provar por exemplo a função

$\sin[\arctan(x)]={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$

Prova:

Partindo de

$\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1$

dividimos esta equação por $\cos ^{2}(\theta )$

$\cos ^{2}(\theta )={\frac {1}{\tan ^{2}(\theta )+1}}.$

Então usando a substituição $\theta =\arctan(x)$, e também usando a identidade trigonométrica pitagórica:

$1-\sin ^{2}[\arctan(x)]={\frac {1}{\tan ^{2}[\arctan(x)]+1}}.$

Então usando a identidade $\tan[\arctan(x)]\equiv x$

$\sin[\arctan(x)]={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}.$

Ver também

• Identidade trigonométrica
• Fórmula de Euler

Bibliografia

• E. T. Whittaker e G. N. Watson. A course of modern analysis, Cambridge University Press, 1952