Série de Bell

Em matemática, uma série de Bell é uma série de potências usada para estudar as propriedades de funções aritméticas. As séries de Bell foram introduzidas e desenvolvidas por Eric Temple Bell.

Dada uma função aritmética $f$ e um número primo $p$, define-se a série de potências formalmente $f_{p}(x)$, chamada agora de série de Bell de $f$ módulo $p$ como:

$f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}.$

Pode-se demostrar que duas funções multiplicativas são idênticas se todas as suas séries de Bell são iguais; isto às vezes chama-se teorema de unicidade. Dadas as funções mutiplicativas $f$ e $g$, tem-se que $f=g$ se e somente se:

$f_{p}(x)=g_{p}(x)$ para todos os primos $p$.

Duas séries podem ser multiplicadas (às vezes chama-se de teorema de multiplicação): Para duas funções aritméticas quaisquer $f$ e $g$, seja $h=f*g$ sua convolução de Dirichlet. Então, para cada primo $p$, tem se que:

$h_{p}(x)=f_{p}(x)g_{p}(x).\,$

Em particular, isto converte em algo trivial encontrar a serie de Bell de uma inversa de Dirichlet.

Se $f$ é uma função completamente multiplicativa, então:

$f_{p}(x)={\frac {1}{1-f(p)x}}.$

Exemplos

A continuação mostra as séries de Bell de funções aritméticas mais conhecidas.

• A função de Möbius $\mu$ tem $\mu _{p}(x)=1-x.$
• A função φ de Euler $\varphi$ tem $\varphi _{p}(x)={\frac {1-x}{1-px}}.$
• A identidade multiplicativa da convolução de Dirichlet $\delta$ tem $\delta _{p}(x)=1.$
• A função de Liouville $\lambda$ tem $\lambda _{p}(x)={\frac {1}{1+x}}.$
• A função potência Id_k tem $({\textrm {Id}}_{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-p^{k}x}}.$ Aqui, Id_k é a função completamente multiplicativa $\operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}$.
• A função divisor $\sigma _{k}$ tem $(\sigma _{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-(1+p^{k})x+p^{k}x^{2}}}.$