Símbolo de Kronecker

Em teoria dos números, o símbolo de Kronecker, escrito como $\left({\frac {a}{n}}\right)$ ou (a|n), é uma generalização do símbolo de Jacobi para todos os inteiros n. Foi introduzido por Leopold Kronecker.

Definição

Seja n um número inteiro não-nulo, com fatoração em números primos

$u\cdot {p_{1}}^{e_{1}}\cdots {p_{k}}^{e_{k}},$

onde u é uma unidade (i.e., u é 1 ou −1), e os p_i são números primos. Seja a um inteiro. O símbolo de Kronecker (a|n) é definido como:

$\left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {a}{u}}\right)\prod _{i=1}^{k}\left({\frac {a}{p_{i}}}\right)^{e_{i}}.$

Para números ímpares p_i, o (a|p_i) reduz-se simplesmente ao símbolo de Legendre. Mantendo o caso em que p_i = 2. Define-se (a|2) por

$\left({\frac {a}{2}}\right)={\begin{cases}0&{\mbox{se }}a{\mbox{ é par,}}\\1&{\mbox{se }}a\equiv \pm 1{\pmod {8}},\\-1&{\mbox{se }}a\equiv \pm 3{\pmod {8}}.\end{cases}}$

Como este estende o símbolo de Jacobi, a quantidade (a|u) é simplesmente 1 quando u = 1. Quando u = −1, é definido por

$\left({\frac {a}{-1}}\right)={\begin{cases}-1&{\mbox{se }}a<0,\\1&{\mbox{se }}a\geq 0.\end{cases}}$

Finalmente, teremos que

$\left({\frac {a}{0}}\right)={\begin{cases}1&{\text{se }}a=\pm 1,\\0&{\text{em outro caso.}}\end{cases}}$

Estas extensões são suficientes para definir o símbolo de Kronecker para todos os inteiros n.

Veja também

• Símbolo de Legendre
• Símbolo de Jacobi

Ligações externas

• Weisstein, Eric W. «Kronecker symbol» (em inglês). MathWorld 
• Este artigo incorpora material de Kronecker symbol do PlanetMath, que é licenciado sob GFDL.