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Na mecânica quântica , os símbolos 9-j de Wigner foram introduzidos por Eugene Paul Wigner em 1937. Eles estão relacionados aos coeficientes de recobrimento na mecânica quântica envolvendo quatro momentos angulares
(
2
j
3
+
1
)
(
2
j
6
+
1
)
(
2
j
7
+
1
)
(
2
j
8
+
1
)
{
j
1
j
2
j
3
j
4
j
5
j
6
j
7
j
8
j
9
}
=
⟨
(
(
j
1
j
2
)
j
3
,
(
j
4
j
5
)
j
6
)
j
9
|
(
(
j
1
j
4
)
j
7
,
(
j
2
j
5
)
j
8
)
j
9
⟩
.
{\displaystyle {\sqrt {(2j_{3}+1)(2j_{6}+1)(2j_{7}+1)(2j_{8}+1)}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}=\langle ((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}|((j_{1}j_{4})j_{7},(j_{2}j_{5})j_{8})j_{9}\rangle .}
[ 1] Um símbolo de 9-j é invariante sob reflexão sobre permutações tanto diagonais quanto uniformes de suas linhas ou colunas:
{
j
1
j
2
j
3
j
4
j
5
j
6
j
7
j
8
j
9
}
=
{
j
1
j
4
j
7
j
2
j
5
j
8
j
3
j
6
j
9
}
=
{
j
9
j
6
j
3
j
8
j
5
j
2
j
7
j
4
j
1
}
=
{
j
7
j
4
j
1
j
9
j
6
j
3
j
8
j
5
j
2
}
.
{\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{4}&j_{7}\\j_{2}&j_{5}&j_{8}\\j_{3}&j_{6}&j_{9}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{9}&j_{6}&j_{3}\\j_{8}&j_{5}&j_{2}\\j_{7}&j_{4}&j_{1}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{7}&j_{4}&j_{1}\\j_{9}&j_{6}&j_{3}\\j_{8}&j_{5}&j_{2}\end{Bmatrix}}.}
[ 2] Uma permutação ímpar de linhas ou colunas produz um fator de fase
(
−
1
)
S
{\displaystyle (-1)^{S}}
S
=
∑
i
=
1
9
j
i
.
{\displaystyle S=\sum _{i=1}^{9}j_{i}.}
Por exemplo:
{
j
1
j
2
j
3
j
4
j
5
j
6
j
7
j
8
j
9
}
=
(
−
1
)
S
{
j
4
j
5
j
6
j
1
j
2
j
3
j
7
j
8
j
9
}
=
(
−
1
)
S
{
j
2
j
1
j
3
j
5
j
4
j
6
j
8
j
7
j
9
}
.
{\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}=(-1)^{S}{\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}=(-1)^{S}{\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\\j_{8}&j_{7}&j_{9}\end{Bmatrix}}.}
[ 3] Referências 
