Sequência generalizada

Em matemática, uma sequência generalizada ou sequência de Moore-Smith também conhecida pelo nome de origem inglesa net é um conceito que permite generaliza a ideia de limite de sequências.

Este conceito foi apresentado inicialmente por E. H. Moore e H. L. Smith em 1922. Um conceito parecido, de filtro, foi desenvolvido em 1937 por Henri Cartan.

Definições

• Um conjunto $A\,$ é dito conjunto direcionado se:
  • É não vazio
  • Admite uma ordem parcial $\geq \,$
  • Para todos $\alpha \,$ e $\beta \,$ em $A\,$, existe $\gamma \in A$ tal que $\gamma \geq \alpha \,$ e $\gamma \geq \beta \,$.

• Uma aplicação $x_{\alpha }:A\to X\,$ é dita uma sequência generalizada se $A\,$ é um conjunto direcionado e $X\,$ é um espaço topológico.

• $x_{\alpha }\,$ é dita estar eventualmente em $V\subseteq X\,$ se existe um $\alpha \,$ tal que:

$\gamma \geq \alpha \Longrightarrow x_{\gamma }\in V\,$

• $x_{\alpha }\,$ é dita estar frequentemente em $V\subseteq X\,$ se para todo $\alpha \,$ existe um $\gamma \geq \alpha \,$ tal que:

$x_{\gamma }\in V\,$

• $x_{\alpha }\,$ converge para $x\in X\,$ se está eventualmente em cada vizinhança de $x\,$.

• $x_{\alpha }\,$ se acumula em $x\in X\,$ se está frequentemente em cada vizinhança de $x\,$.

Exemplos

• Uma sequência é uma sequência de Moore-Smith onde o conjunto direcionado é os naturais
• Se $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,$ é uma função, então $f(x)\,$ é uma sequência de Moore-Smith onde o conjunto dos números reais é o conjunto direcionado.