Teorema de Cauchy–Hadamard

Em matemática, o teorema de Cauchy-Hadamard é o resultado de uma análise complexa (nome em homenagem aos matemáticos franceses Augustin Louis Cauchy e Jacques Hadamard) descrevendo o raio de convergência de uma série de potências . Foi publicado em 1821 por Cauchy ,mas permaneceu relativamente desconhecido até que Hadamard o redescobriu . A primeira publicação de Hadamard desse resultado foi em 1888 ; ele também o incluiu como parte de sua tese de Ph.D. de 1892.

Teorema para uma variável complexa

Considere a série formal de potências em uma variável complexa z da forma:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$

Onde $a,c_{n}\in \mathbb {C} .$

Então o raio de convergência $R$ de ƒ no ponto a é dado por:

${\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }{\big (}|c_{n}|^{1/n}{\big )}$

onde lim sup denota o limite superior, o limite quando n se aproxima do infinito do supremo dos valores da sequência após a n-ésima posição. Se os valores da sequência são ilimitados de modo que o limite superior seja infinito, então a série de potências não converge para perto de a, enquanto que se o limite superior for 0 então o raio de convergência é infinito, significando que a série converge em todo o plano.

Prova

Sem perda de generalidade, assuma que $a=0$ . Mostraremos primeiro que a série de potências $\sum c_{n}z^{n}$ converge para $|z|<R$, e então que diverge para $|z|>R$.

Primeiro suponha $|z|<R$ . Deixe $t=1/R$ não ser $0$ ou $\pm \infty .$ Para qualquer $\varepsilon >0$, existe apenas um número finito de $n$ de tal modo que ${\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\geq t+\varepsilon$ . Agora $|c_{n}|\leq (t+\varepsilon )^{n}$ para todos, exceto um número finito de $c_{n}$, então a série $\sum c_{n}z^{n}$ converge se $|z|<1/(t+\varepsilon )$ . Isso prova a primeira parte.

Por outro lado, para $\varepsilon >0$, $|c_{n}|\geq (t-\varepsilon )^{n}$ para infinitamente muitos $c_{n}$, então se $|z|=1/(t-\varepsilon )>R$, vemos que a série não pode convergir porque o seu n-ésimo termo não tende a 0.

Teorema para várias variáveis complexas

Deixe $\alpha$ ser um índice múltiplo (um n de inteiros) com $|\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}$, então $f(x)$ converge com raio de convergência $\rho$ (que também é um índice múltiplo) se e somente se

$\lim _{|\alpha |\to \infty }{\sqrt[{|\alpha |}]{|c_{\alpha }|\rho ^{\alpha }}}=1$

para a série de potência multidimensional

$\sum _{\alpha \geq 0}c_{\alpha }(z-a)^{\alpha }:=\sum _{\alpha _{1}\geq 0,\ldots ,\alpha _{n}\geq 0}c_{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}(z_{1}-a_{1})^{\alpha _{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{\alpha _{n}}$

A prova pode ser encontrada em.

Ligações externas

• Weisstein, Eric W. «Cauchy-Hadamard theorem» (em inglês). MathWorld