Teorema de Frege
Na metalógica e na metamatemática, o teorema de Frege é um metateorema que afirma que os axiomas de Peano da aritmética podem ser derivados em lógica de segunda ordem a partir do princípio de Hume. Foi primeiro provado, de forma informal, por Gottlob Frege em seu trabalho de 1884 Die Grundlagen der Arithmetik (Os Fundamentos da Aritmética)[1] e provado de forma mais formal em sua obra de 1893 Grundgesetze der Arithmetik I (Leis Básicas da Aritmética I).[2] O teorema foi redescoberto por Crispin Wright no início da década de 1980 e desde então tem sido objeto de trabalhos significativos. Está no cerne da filosofia da matemática conhecida como neo-logicismo (pelo menos da variedade da Escola Escocesa).
Visão Geral[editar | editar código-fonte]
Em Os Fundamentos da Aritmética (1884), e posteriormente, em Leis Básicas da Aritmética (vol. 1, 1893; vol. 2, 1903), Frege tentou derivar todas as leis da aritmética a partir de axiomas que ele afirmava serem lógicos (veja logicismo). A maioria desses axiomas foi herdada de sua Begriffsschrift; o único princípio verdadeiramente novo foi aquele que ele chamou de Lei Básica V[2]:[3] o "intervalo de valores" da função f(x) é o mesmo que o "intervalo de valores" da função g(x) se e somente se ∀x[f(x) = g(x)]. No entanto, não apenas a Lei Básica V falhou em ser uma proposição lógica, mas o sistema resultante mostrou-se inconsistente, pois estava sujeito ao paradoxo de Russell.[4]
A inconsistência nas Grundgesetze de Frege ofuscou a realização de Frege: segundo Edward Zalta, as Grundgesetze "contém todos os passos essenciais de uma prova válida (em lógica de segunda ordem) das proposições fundamentais da aritmética a partir de um único princípio consistente."[4] Esta realização ficou conhecida como o teorema de Frege.[4][5]
Referências
- ↑ Gottlob Frege, Die Grundlagen der Arithmetik, Breslau: Verlag von Wilhelm Koebner, 1884, §63.
- ↑ a b Gottlob Frege, Grundgesetze der Arithmetik I, Jena: Verlag Hermann Pohle, 1893, §§20 and 47.
- ↑ Richard Pettigrew, "Basic set theory", January 26, 2012, p. 2.
- ↑ a b c Zalta, Edward (2013), «Frege's Theorem and Foundations for Arithmetic», Stanford Encyclopedia of Philosophy.
- ↑ Boolos, George (1998). Logic, Logic, and Logic. Edited by Richard C. Jeffrey, introduction by John P. Burgess. Cambridge, Mass: Harvard University Press. p. 154. ISBN 9780674537675. OCLC 37509971.
A descoberta surpreendente de Frege, da qual ele pode ou não ter sido plenamente consciente e que foi perdida de vista desde a descoberta do paradoxo de Russell, foi que a aritmética pode ser derivada em um sistema puramente lógico como o de sua Begriffsschrift a partir deste princípio consistente e dele sozinho.
- Gottlob Frege (1884). Die Grundlagen der Arithmetik – eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl (PDF) (em German). Breslau: Verlag von Wilhelm Koebner
- Gottlob Frege (1893). Grundgesetze der Arithmetik (em German). 1. Jena: Verlag Hermann Pohle – Edition in modern notation
- Gottlob Frege (1903). Grundgesetze der Arithmetik (em German). 2. Jena: Verlag Hermann Pohle – Edition in modern notation