Usuário(a):Fernanda.st/Testes

Aplicação: Metabolismo de uma medicação

A utilização da Transformada de Laplace, neste caso, facilita a solução do problema, pois torna o sistema de equações diferenciais em equações algébricas.

A evolução da concentração de um medicamento na corrente sanguínea é dada pelo seguinte modelo:

$c'(t)+{\frac {1}{\tau }}c(t)=x(t)\qquad t>0$

Onde c(t) é a concentração do medicamento, x(t) é a dosagem e $\tau$ é a taxa em que o organismo metaboliza o medicamento.

Como as dosagens normalmente são ingeridas com uma periodicidade (período T) e são liberadas instantaneamente (delta de Dirac) na corrente sanguínea, pode-se escrever:

$x(t)=co(\delta (t)+\delta (t-T)+\delta (t-2T)+\delta (t-3T)+...)$

Onde co é a concentração ingerida.

Calcula-se c(t), supondo que inicialmente a concentração do medicamento no organismo era nula, ou seja c(0)=0.

Aplicando a Transformada de Laplace:

$sC(s)-C(0)=-{1 \over 2}C(s)+Co[1+e^{-sT}+e^{-2sT}+e^{-3sT}+...]$

$C(s)[s+{1 \over 2}]=Co[1+e^{-sT}+e^{-2sT}+e^{-3sT}+...]$

$C(s)={Co \over s+{1 \over 2}}[1+e^{-sT}+e^{-2sT}+e^{-3sT}+...]$

Fazendo a Transformada de Laplace inversa:

.${\mathcal {L}}^{-1}\{{Co \over s+{1 \over \tau }}\}=Coe^{-t \over \tau }$

$c(t)=Coe^{-t \over \tau }+u(t-\tau )Coe^{-(t-\tau ) \over \tau }+u(t-2\tau )Coe^{-(t-2\tau ) \over \tau }+u(t-3\tau )Coe^{-(t-3\tau ) \over \tau }+...$

Usando $Co=1$, $\tau =1$ e $T=1$, pode-se construir o seguinte gráfico da concentração do medicamento no organismo:

gráfico da concentração de um medicamento no organismo