Usuário(a):GustavOliveira/Testes

Bem-vindo à página de testes #Testes!

Aqui pode fazer todos os testes de edição que precisar. Para adicionar as suas alterações, clique no botão «editar» na parte superior da página e, em seguida, clique no botão «Gravar página»

Lembre-se que todo usuário pode criar uma página de testes pessoal, basta fazer login com sua conta (registre-se caso não tenha conta).

Ajuda: Como se edita uma página (formatação, ligações internas , imagens, ligações entre projectos, ligações externas, listas e tabelas)
Outros: Assistente para a criação de artigos − Tutorial − Livro de estilo

Nota: Não introduza conteúdo ofensivo, calunioso ou protegido por direitos autorais.

[Ver as páginas de teste livres]Os testes que você fizer aqui serão apagados ao fim de determinado tempo para que outros possam também praticar.

A Transformada Z, de grande importância na análise de sinais digitais, aplica-se para sinais discretos tais como aqueles advindos da conversão analógico-digital. A Transformada Z é utilizada no projeto de filtros e sistemas de controle digitais. Além disso a transformada $\mathbb {Z}$ define como construir uma função a partir de uma série. Assim, cada série é transformada numa função; isso permitirá transformar equações diferenciais em equações algébricas que em alguns casos podem ser resolvidas facilmente.

Definição

Seja $f(t)$ definida para t ≥ 0. A Transformada-Z da série $\{f(nT)\}$ é dada por:

$F(z)={\mathcal {Z}}\{f[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }f[n]z^{-n}$

Transformada Inversa

$f[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{F(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}F(z)z^{n-1}dz$

Região de convergência

A região de convergência é a parte do plano complexo onde a Transformada converge.

$RDC=\left\{z:\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }f[n]z^{-n}\right|<\infty \right\}$

A série converge para valores de $z$ em módulo, maiores que o raio de convergência $R$:

${\left\vert z\right\vert }>$$\limsup _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\left\vert f(nT)\right\vert }}=$$R$

Portanto, a série converge absolutamente para todos os pontos do plano $z$ que se encontram fora do círculo de raio $R$, centrado na origem. Esta região é denominada região de convergência (RDC).

Propriedades da Transformada Z

Se um par de sinais quaisquer formam o par de transformadas:

${\begin{aligned}&{\mathcal {Z}}\{g(n)\}=G(z)\\&{\mathcal {Z}}\{h(n)\}=H(z)\\\end{aligned}}$

então as seguintes propriedades são conservadas pela Transformada Z.

Linearidade

${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{\alpha g(n)+\beta h(n)\}&=\sum _{n=0}^{\infty }[\alpha g(n)+\beta h(n)]z^{-n}\\&=\alpha \sum _{n=0}^{\infty }g(n)z^{-n}+\beta \sum _{n=0}^{\infty }h(n)z^{-n}\\&=\alpha {\mathcal {Z}}\{g(n)\}+\beta {\mathcal {Z}}\{h(n)\}\\&=\alpha G(z)+\beta H(z)\end{aligned}}$

Teorema do valor inicial

$g[0]=\lim _{z\to \infty }G(z)$

Teorema do valor final

$\lim _{n\to \infty }g(n)=\lim _{z\to 1}(z-1)G(z)$

Deslocamento temporal

Atraso:

${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{g[n-n_{0}]\}&=z^{-n_{0}}G(z),n_{0}\geq 0\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }g[n-n_{0}]z^{-n}\end{aligned}}$

Definindo $m=n-n_{0}$

$\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{-m}z^{-n_{0}}=z^{-n_{0}}H(z)$

Avanço:

${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{g[n+n_{0}]\}&=z^{n_{0}}{\Biggl (}G(z)-\sum _{m=0}^{n_{0}-1}g[m]z^{-m}{\Biggr )},n_{0}>0\\\end{aligned}}$

Mudança de Escala

${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{\alpha ^{n}g[n]\}&=G\left({\frac {z}{\alpha }}\right)\\\end{aligned}}$

Derivada da Transformada Z

${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{ng(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }ng(n)z^{-n}\\&=z\sum _{n=-\infty }^{\infty }ng(n)z^{-n-1}\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }g(n)(-nz^{-n-1})\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }g(n){\frac {d}{dz}}(z^{-n})\\&=-z{\frac {dG(z)}{dz}}\end{aligned}}$

Reversão temporal

${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{f(-n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(-n)z^{-n}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f(m)z^{m}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f(m){(z^{-1})}^{-m}\\&=F(z^{-1})\\\end{aligned}}$

Convolução em Tempo Discreto

${\mathcal {Z}}{g[n]*h[n]}=H(z)G(z)$

Transformada da Derivada

${\mathcal {Z}}\{{g[n]-g[n-1]}\}={\bigl (}1-z^{-1}{\bigr )}G(z)$

Relação com a Transformada de Laplace

A Transformada Z é, para sinais em tempo discreto, o mesmo que a Transformada de Laplace é, para sinais contínuos.

Seja um sinal, $x(n)$ amostrado da forma:

${\begin{aligned}x[n]=x(nT)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(t)\delta (t-nT)\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)\\\end{aligned}}$

onde $T$ é o tempo de amostragem. A Transformada de Laplace $X(s)$ do sinal $x(n)$ é:

${\begin{aligned}X(s)&=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\Biggl (}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(t)\delta (t-nT){\Biggr )}e^{-st}dt\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\Bigl (}\delta (t-nT){\Bigr )}e^{-st}dt\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)e^{-sT}\\\end{aligned}}$

Obtemos assim a definição de Transformada Z como a Transformada de Laplace com a mudança de variável $z=e^{Ts}$

${\begin{aligned}X(s)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)e^{-sT}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(nT)z^{-n}\end{aligned}}$

Tabela de Transformadas

	Sinal, $x[n]$	Transformada Z, $X(z)$	Região de Convergência
1	$\delta [n]$	1	all z
2	$\delta [n-n_{0}]$	$z^{-n_{0}}$	$z\neq 0$
3	$u[n]\,$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}$	$|z|>1$
4	$e^{-\alpha n}u[n]$	$1 \over 1-e^{-\alpha }z^{-1}$	$|z|>e^{-\alpha }\,$
5	$-u[n-1]$	${\frac {1}{1-z}}$	$|z|<1$
6	$nu[n]$	${\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}$	$|z|>1$
7	$-nu[-n-1]\,$	${\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}$	$|z|<1$
8	$n^{2}u[n]$	${\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}$	$|z|>1\,$
9	$-n^{2}u[-n-1]\,$	${\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}$	$|z|<1\,$
10	$n^{3}u[n]$	${\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}$	$|z|>1\,$
11	$-n^{3}u[-n-1]$	${\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}$	$|z|<1\,$
12	$a^{n}u[n]$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$	$|z|>|a|$
13	$-a^{n}u[-n-1]$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$	$|z|<|a|$
14	$na^{n}u[n]$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$	$|z|>|a|$
15	$-na^{n}u[-n-1]$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$	$|z|<|a|$
16	$n^{2}a^{n}u[n]$	${\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}$	$|z|>|a|$
17	$-n^{2}a^{n}u[-n-1]$	${\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}$	$|z|<|a|$
18	$\cos(\omega _{0}n)u[n]$	${\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}$	$|z|>1$
19	$\sin(\omega _{0}n)u[n]$	${\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}$	$|z|>1$
20	$a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]$	${\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$	$|z|>|a|$
21	$a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]$	${\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$	$|z|>|a|$

Referências

1.Jury, Eliahu Ibrahim (1964). Theory and Application of the z-Transform Method. [S.l.]: John Wiley & Sons.