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Um espaço de Wiener abstrato é um objeto matemático em teoria da medida, usado para construir uma medida razoável (estritamente positiva e localmente finita) de um espaço vetorial de dimensões infinitas. Tem este nome graças ao matemático norte-americano Norbert Wiener. A construção original de Wiener, conhecida como espaço de Wiener clássico, só se aplicava ao espaço de caminhos contínuos de valores reais referentes ao intervalo unitário. Leonard Gross[1] propôs a generalização ao caso de um espaço de Banach separável comum.
O teorema da estrutura para medidas gaussianas afirma que todas as medidas gaussianas podem ser representadas pela construção de um espaço de Wiener abstrato.
Definição[editar | editar código-fonte]
Considere H um espaço de Hilbert separável, E um espaço de Banach separável e i : H → E um operador linear contínuo injetor com imagem densa (isto é, o fechamento de i(H) em E é o próprio E) que faz a transformada de Radon da medida gaussiana canônica de conjunto cilíndrico γH em H. Então, o triplo (i, H, E)(ou simplesmente i : H → E) é chamado de espaço de Wiener abstrato. A medida γ induzida em E é chamada de medida de Wiener abstrata de i : H → E.
O espaço de Hilbert H é às vezes chamado de espaço de Cameron-Martin ou espaço de Hilbert com núcleo reprodutor.
Algumas fontes[2] consideram H um subespaço de Hilbert densamente incorporado do espaço de Banach E, sendo i simplesmente a inclusão de H em E. Não há perda de generalização ao tomar o ponto de vista dos "espaços incorporados" em vez do ponto de vista dos "espaços diferentes" mencionado acima.
Propriedades[editar | editar código-fonte]
- γ é uma medida de Borel: é definida na sigma-álgebra de Borel gerada pelos subconjuntos abertos de E.
- γ é uma medida gaussiana no sentido de que f∗(γ) é uma medida gaussiana em R para toda forma linear f ∈ E∗, f ≠ 0.
- Portanto, γ é estritamente positiva e localmente finita.
- Se E é um espaço de Banach de dimensões finitas, podemos considerar que E é isomórfico a Rn para algum n ∈ N. Considerar H = Rn e i : H → E o isomorfismo canônico dá a medida de Wiener abstrata γ = γn, a medida gaussiana padrão de Rn.
- O comportamento de γ sob translação é descrito pelo teorema de Cameron-Martin.
- Dados dois espaços de Wiener abstratos i1 : H1 → E1 e i2 : H2 → E2, pode-se mostrar que γ12 = γ1 ⊗ γ2. Em detalhe:
- isto é, a medida de Wiener abstrata γ12 no produto cartesiano E1 × E2 é o produto das medidas de Wiener abstratas nos dois fatores E1 e E2.
- Se H (e E) são de infinitas dimensões, a imagem de H é um conjunto de medida zero, isto é, γ(i(H)) = 0. Este fato é uma consequência da lei zero-um de Kolmogorov.
Espaço de Wiener clássico[editar | editar código-fonte]
O espaço de Wiener abstrato mais usado é o espaço de caminhos contínuos, conhecido como espaço de Wiener clássico. Este é o espaço de Wiener abstrato com
Arguably the most frequently-used abstract Wiener space is the space of continuous paths, and is known as classical Wiener space. This is the abstract Wiener space with
com produto interno
E = C0([0, T]; Rn) com norma
e função inclusão i : H → E. Esta medida γ é chamada de medida de Wiener clássica ou simplesmente medida de Wiener.
Referências[editar | editar código-fonte]
[[Categoria::Teoria da medida]] [[Categoria::Processos estocásticos]]
- ↑ Gross, Leonard (1 de janeiro de 1967). «Abstract Wiener spaces». The Regents of the University of California (em inglês)
- ↑ Bell, Denis R. (1 de janeiro de 2006). The Malliavin Calculus (em inglês). [S.l.]: Dover Publications. ISBN 9780486449944