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Norbert Wiener

Em matemática, o espaço de Wiener clássico é a compilação de todas as funções contínuas em um dado domínio (geralmente um subintervalo da reta real), tomando valores em um espaço métrico (geralmente um espaço euclidiano de n dimensões). O espaço de Wiener clássico é útil no estudo de processos estocásticos cujos caminhos amostrais são funções contínuas. Tem este nome graças ao matemático norte-americano Norbert Wiener

Definição

Consider E ⊆ Rⁿ e um espaço métrico (M, d). O espaço de Wiener clássico C(E; M) é o espaço de todas as funções contínuas f : E → M. para todo t fixado em E,

$d(f(s),f(t))\to 0$ as $|s-t|\to 0.$

Em quase todas as aplicações, toma-se E = [0, T] ou [0, +∞) e M = Rⁿ para algum n em N. Por brevidade, escreve-se C para C([0, T]; Rⁿ); este é um espaço vetorial. Escreve-se C₀ para o subespaço linear que consiste apenas daquelas funções que tomam valor zero no ínfimo do conjunto E. Muitos autores se referem a C₀ como "espaço de Wiener clássico".

Propriedades do espaço de Wiener clássico

Topologia uniforme

O espaço vetorial C pode ser equipado com a norma uniforme

$\|f\|:=\sup _{t\in [0,T]}|f(t)|$

tornando-o um espaço vetorial normalizado ^{(português brasileiro)} ou normado ^{(português europeu)} (na verdade, um espaço de Banach). Esta norma induz uma métrica em C no sentido comum: $d(f,g):=\|f-g\|$. A topologia gerada pelos conjuntos abertos nesta métrica é a topologia de convergência uniforme em [0, T], ou a topologia uniforme.

Considerado o domínio [0, T] como "tempo" e o intervalo Rⁿ como "espaço", uma visão intuitiva da topologia uniforme é que as duas funções estão "próximas" se pudermos "movimentar um pouco no espaço" e fazermos o grafo de f permanecer em cima do grafo de g, enquanto deixamos o tempo fixo. Isto contrasta com a topologia de Skorokhod, que nos permite "movimentar" tanto espaço, como tempo.

Separabilidade e completude

No que se refere à métrica uniforme, C é um espaço tanto separável, quanto completo:

• a separabilidade é uma consequência do teorema de Stone-Weierstrass;
• a completude é uma consequência do fato de que o limite uniforme de uma sequência de funções contínuas é contínuo.

Por ser tanto separável, como completo, C é um espaço polonês.

Tightness no espaço de Wiener clássico

Lembre que o módulo de continuidade para um função f : [0, T] → Rⁿ é definido por

$\omega _{f}(\delta ):=\sup \left\{|f(s)-f(t)|\left|s,t\in [0,T],|s-t|\leq \delta \right.\right\}.$

Esta definição faz sentido mesmo se f não for contínua e pode-se mostrar que f é contínua se e somente se seu módulo de continuidade tender a zero conforme δ → 0:

$f\in C\iff \omega _{f}(\delta )\to 0$ as δ → 0.

Por uma aplicação do teorema de Arzelà-Ascoli, pode-se mostrar que uma sequência $(\mu _{n})_{n=1}^{\infty }$ de medidas de probabilidade em um espaço de Wiener clássico C é tight se e somente se ambas as condições seguintes forem atendidas:

$\lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in C||f(0)|\geq a\}=0,$ and

$\lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in C|\omega _{f}(\delta )\geq \varepsilon \}=0$ for all ε > 0.

Medida de Wiener clássica

Há uma medida "padrão" em C₀, conhecida como medida de Wiener clássica (ou simplesmente medida de Wiener). A medida de Wiener tem (pelo menos) duas caracterizações equivalentes:

Se o movimento browniano for definido como sendo um processo estocástico com propriedade de Markov B : [0, T] × Ω → Rⁿ, começando na origem, com quase certamente caminhos contínuos e incrementos independentes

$B_{t}-B_{s}\sim \mathrm {Normal} \left(0,|t-s|\right),$

então a medida de Wiener clássica γ é a lei do processo B.

Alternativamente, pode-se usar a construção do espaço de Wiener abstrato, em que a medida de Wiener clássica γ é a radonificação da medida gaussiana canônica de conjunto cilíndrico no espaço de Hilbert e de Cameron-Martin correspondente a C₀.

A medida de Wiener clássica é uma medida gaussiana: em particular, é uma medida de probabilidade estritamente positiva.

Dada a medida clássica de Wiener γ em C₀, a medida produto γⁿ × γ é uma medida de probabilidade em C, em que γⁿ denota a medida gaussiana padrão em Rⁿ.

Ver também

• Espaço de Skorokhod, a generalization of classical Wiener space, which allows functions to be discontinuous
• Espaço de Wiener abstrato
• Wiener process

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