Usuário:Muriloricci/FAAP

Geometria analítica

Vetores

Representação gráfica de um vetor.

É um segmento de reta orientado. Todo vetor ${\vec {v}}$ apresenta três características:

• Módulo ($||{\vec {v}}||$): tamanho do segmento da reta.
• Direção: tipo de segmento da reta.
• Sentido: dar-se-á pela reta.

Geralmente os vetores são representados no plano cartesiano. Logo, sua apresentação depende do par ordenado (x, y) formado, ou seja: ${\vec {v}}=(x,y)$ ou ${\vec {v}}={\overrightarrow {AB}}$

Casos particulares

• Dois ou mais vetores são ditos paralelos (${\vec {u}}$//${\vec {v}}$) quando apresentarem a mesma direção.
• Dois vetores ${\vec {u}}$ e ${\vec {v}}$ são iguais (${\vec {u}}$ = ${\vec {v}}$) se tiverem o mesmo módulo, direção e sentido.
• O vetor é dito nulo (${\vec {0}}$) quando a origem coincide com o destino.
  • Observação: Todo vetor nulo é considerado paralelo a outro vetor.
• Um vetor é unitário se $||{\vec {u}}||$
  • Os vetores unitários formam a base canônica do plano cartesiano.
  • O vetor unitário, quando projetado, pode representar o versor do vetor. ${\frac {\mathbf {u} }{||\mathbf {u} ||}}$
• Dois vetores ${\vec {u}}$ e ${\vec {v}}$ são ortogonais (${\vec {u}}\perp {\vec {v}}$) se entre eles representar um ângulo reto.

Matemática II

Integral de uma função

Substituição de variáveis

Integrais indefinidas

Exemplo I: $\int 15^{2}\cdot (x^{3}+4)^{4}\cdot dx$

$u=x^{3}+4\rightarrow {\frac {du}{dx}}=3x^{2}\rightarrow dx={\frac {du}{3x^{2}}}$

$\int 15^{2}\cdot u^{4}\cdot {\frac {du}{3x^{2}}}\rightarrow \int 5\cdot u^{4}\cdot du\rightarrow 5\int u^{4}\cdot du\rightarrow 5\cdot {\frac {u^{5}}{5}}+C\rightarrow u^{5}+C$

$(x^{3}+4)^{5}+C$

Verificação:

${\frac {d}{dx}}(x^{3}+4)^{5}=5\cdot (x^{3}+4)^{4}\cdot 3x^{2}=15x^{2}\cdot (x^{3}+4)^{4}$

Exemplo II: $\int 6x^{2}\cdot {\sqrt {2x^{3}+1}}\cdot dx$

$u=2x^{3}+1\rightarrow {\frac {du}{dx}}=6x^{2}\rightarrow dx={\frac {du}{6x^{2}}}$

$\int 6x^{2}\cdot {\sqrt {u}}\cdot {\frac {du}{6x^{2}}}\rightarrow \int {\sqrt {u}}\cdot du\rightarrow \int u^{\frac {1}{2}}\cdot du\rightarrow {\frac {u^{\frac {3}{2}}}{\frac {3}{2}}}+C\rightarrow {\frac {2}{3}}\cdot {\sqrt {u^{3}}}+C$

${\frac {2\cdot {\sqrt {(2x^{3}+1)^{3}}}}{3}}+C$

Matemática III

Funções vetoriais

Representação de algumas curvas

Reta

Seja A um ponto pertencente a uma reta e ${\vec {b}}$ um vetor que define uma direção. A reta que passa por A e tem a direção dada por ${\vec {b}}$ é definida pela função vetorial:

${\vec {f}}(t)={\vec {a}}+{\vec {b}}t$, onde ${\vec {a}}$ é o vetor posição do ponto A.

Exemplo

Qual é a função vetorial que define a reta que passa pelo ponto A(1, 2) e tem direção dada por ${\vec {b}}=3{\vec {i}}+5{\vec {j}}$?

$A=(1,2)={\vec {a}}=1{\vec {i}}+2{\vec {j}}$

${\vec {f}}(t)={\vec {a}}+{\vec {b}}=(1{\vec {i}}+2{\vec {j}})+(3{\vec {i}}+5{\vec {j}})t=(1+3t){\vec {i}}+(2+5t){\vec {j}}$

Elipse

• Para elipses centradas:

${\vec {r}}(t)=[a\cdot \operatorname {cos} (t)]{\vec {i}}+[b\cdot \operatorname {sen} (t)]{\vec {j}}$

$0\leq t\leq 2\pi$

• Para elipses com o centro em um ponto genérico:

${\vec {r}}(t)=[{x_{0}}+a\cdot \operatorname {cos} (t)]{\vec {i}}+[{y_{0}}+b\cdot \operatorname {sen} (t)]{\vec {j}}$

$0\leq t\leq 2\pi$

Hélice circular

${\vec {r}}(t)=a\cdot \operatorname {cos} (t)){\vec {i}}+a\cdot \operatorname {sen} (t){\vec {j}}+mt{\vec {k}}$

$m\in \mathbb {R}$

Cicloide

Em vermelho, uma cicloide gerada por um círculo em movimento.

Cicloide é a curva "mais rápida" entre dois pontos.

${\vec {r}}(t)=a(t-\operatorname {sen} (t)){\vec {i}}$