Ângulo inscrito
Em geometria, um ângulo inscrito é formado quando duas retas secantes de um círculo (ou, em casos extremos, quando uma reta secante e uma reta tangente do círculo) intersectam o círculo por um ponto comum.
Tipicamente, é mais fácil pensar em um ângulo inscrito como definido por duas cordas do círculo dividindo um ponto.
As propriedades básicas dos ângulos inscritos são discutidas nas proposições 20-22 do livro 4 dos Elementos de Euclides. Essas proposições garantem que o ângulo inscrito tem a metade da medida do ângulo central correspondente, que ângulos inscritos em um mesmo arco de uma corda são iguais e que a soma dos dois ângulos inscritos distintos correspondentes a uma determinada corda é 180°.
Medida do ângulo inscrito
[editar | editar código-fonte]Um ângulo inscrito é metade do ângulo central correspondente ou a medida de um ângulo inscrito é metade da medida do arco correspondente.
Assim, seja o ângulo inscrito de medida e o ângulo central correspondente de medida
Têm-se:
ou
Demonstração
[editar | editar código-fonte]Para demonstrar essa propriedade é preciso considerar 3 casos:
1° Caso
[editar | editar código-fonte]Têm-se que pois ambos são raios da circunferência.
Assim tem-se que é isósceles, o que implica e
Ainda no triângulo tem-se como sendo um ângulo externo. Logo, pelo teorema do ângulo externo, tem-se:
Logo, e, como vem
2° Caso
[editar | editar código-fonte]Tomando um ponto sendo a intersecção de com a circunferência e, sendo:
e
Analisando esse ângulos, pode-se observar que é ângulo inscrito de arco correspondente e que é ângulo inscrito de arco correspondente
Assim é possível relacionar esses dois ângulos, conforme foi demonstrado no 1° caso.
Logo, e, como vem
3° Caso
[editar | editar código-fonte]Tomando um ponto de intersecção de com a circunferência e, sendo:
e
Com isso, tem-se, seguindo o que foi demonstrado no primeiro caso:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Angulo_inscrito_3.svg/255px-Angulo_inscrito_3.svg.png)
Visto que e tem-se:
Logo, e, como vem
Logo, um ângulo inscrito é metade do ângulo central correspondente.
Referências
- ↑ Dolce, Osvaldo (2013). Fundamentos de matemática elementar 9: Geometria plana. São Paulo: Atual
Ligações externas
[editar | editar código-fonte]- «Munching on Inscribed Angles» at Cut-the-Knot
- «Inscribed Angle» With interactive animation
- «Angle inscribed in a semicircle» With interactive animation
- «Arc Peripheral (inscribed) Angle» With interactive animation
- «Arc Central Angle Theorem» With interactive animation