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Paridade

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(Redirecionado de Ímpar)
 Nota: Para outros significados, veja Paridade (desambiguação).

Um número inteiro qualquer é dito par se, ao ser dividido pelo número dois, resulta em um número inteiro, ou seja, seu resultado é um número sem casas decimais, caso contrário esse número é dito ímpar. Alguns números pares são 2, 4, 6, 8, 10 e assim por diante.

Seja P o conjunto dos números inteiros pares e I o conjunto formado pelos números inteiros ímpares, então:

Propriedades dos números pares e ímpares

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Sejam o conjunto dos números pares e o conjunto dos números ímpares. Tendo como conjunto universo o conjunto dos números inteiros, temos as seguintes propriedades:

  • , onde a barra denota o complementar do conjunto.

Seja um número par qualquer e um número ímpar qualquer, têm-se as seguintes propriedades sobre operações aritméticas:

  • A soma ou subtração de dois números pares resulta em um número par:
  • A soma ou subtração de dois números ímpares resulta em um número par:
  • A soma ou subtração de um número par com um número ímpar resulta em um número ímpar:
  • A multiplicação de um número par por um número par resulta em um número par:
  • A multiplicação de um número ímpar por um número ímpar resulta em um número ímpar:
  • A multiplicação de um número par por um número ímpar resulta em um número par:

Métodos de inferência

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Existem diversos métodos para determinar se um número dado é par ou ímpar. O mais fácil deles e, consequentemente, o mais utilizado é baseado na observação do último digito do número que esteja avaliando: caso o último dígito do número seja divisível por dois, isto é, se o resto da divisão do mesmo por dois for igual a zero então o número é par, caso contrário, é ímpar.

Exemplos:

Em outras palavras, neste método o último dígito é avaliado como um número isolado e considera-se que o número que originou o dígito mantém a mesma característica. Esse método é válido devido ao fato de utilizarmos por padrão o sistema de base 10 para representar os números. Como 10 é um número par, cada casa do número nesta base é formada por combinações de pares de números de mesma grandeza:

Embora este método de avaliação seja válido nos sistemas numéricos mais comuns (como o Octal, base 8; e o Hexadecimal, base 16), este método não é válido em um sistema numérico com base ímpar. No sistema de base 7, por exemplo, 2(7) é par, mas 12(7) é ímpar. Isso acontece porque cada casa do número nesta base contém um número sem par da mesma grandeza, obrigando-o a fazer par com o número da casa seguinte:

Paridade do número zero

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Balança vazia
Zero objetos divididos em dois grupos iguais
Ver artigo principal: Paridade do zero

O zero é um número par.[1] Esta afirmação é feita devido às seguintes razões:

  • ele é um número inteiro múltiplo de dois, isto é, ele pode ser escrito na forma 2n, sendo n inteiro;
  • o zero é divisível por 2;
  • o zero é cercado por número ímpares;
  • o zero é o resultado da soma de algum número inteiro com o seu simétrico;
  • zero elementos podem ser divididos em dois grupos com um número igual de elementos;
  • o zero, interpretado como número par, é compatível com todas as regras das somas/subtrações e produtos de números pares e ímpares.

Ou seja, o zero compartilha todas as propriedades comuns a todos os números pares, portanto, conclui-se que ele é par. Popularmente, existe uma definição que determina o zero como sendo um número "nem fração nem ímpar". Esta afirmação geralmente vem acompanhada pela justificativa que o zero seria um "número neutro" e que a propriedade não se aplicaria ao mesmo. Esta afirmação é falsa devido ao fato do conceito de elemento neutro estar associada a uma operação e não a um conjunto numérico. De fato, o zero é o elemento neutro das operações de adição e subtração, mas não é, por exemplo, das operações de multiplicação e divisão.

Referências

  1. Penner, Robert C. (1999). «1». Discrete Mathematics. Proof Techniques and Mathematical Structures (em inglês). Singapore: World Scientific. p. 34. ISBN 981-02-4088-0 
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