Multiplicação

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Na matemática, a multiplicação é uma forma simples de se adicionar uma quantidade finita de números iguais. O resultado da multiplicação de dois números é chamado produto. Ao lado da adição, da divisão e da subtração, a multiplicação é uma das quatro operações fundamentais da aritmética. Os números sendo multiplicados são chamados de coeficientes ou operandos, e individualmente de multiplicando e multiplicador.

$x\times y={\begin{matrix}\underbrace {y+y+\cdots +y} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}$

(lê-se "x vezes y" ou "y adicionado x vezes")

Assim, por exemplo,

$3\times 5=5+5+5=15$.

Pode também ser uma operação geométrica - a partir de dois segmentos de reta dados determinar um outro cujo comprimento seja igual ao produto dos dois iniciais (veja aqui).

Propriedades

• Comutativa: A ordem dos fatores não altera o produto da operação. Assim, se $x\times y=z$, logo $y\times x=z$. Por exemplo: $5\times 4=4\times 5=20$.
• Associativa: O agrupamento dos fatores não altera o resultado. (Podemos juntar de dois em dois de modo que facilite o cálculo). Assim, se $(x\times y)\times z=w$, logo $x\times (y\times z)=w$. Por exemplo: $(2\times 3)\times 4=2\times (3\times 4)=24$.
• Distributiva: Um fator colocado em evidência numa soma dará como produto a soma do produto daquele fator com os demais fatores. Assim, $x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)$.
• Elemento neutro: O um (1) é chamado elemento neutro da multiplicação. Assim, $x\times 1=1\times x=x$.
• Fechamento: O produto de dois números reais será sempre um número real.

Na matemática, podemos dizer que a multiplicação é a mais simples forma de agruparmos uma quantidade finita de números. Ao efetuarmos uma multiplicação, chegamos a uma resposta que é chamada de produto. Na geometria, está relacionada também como uma operação geométrica - a partir de dois segmentos de retas dados, podemos determinar um outro cujo comprimento seja igual ao produto dos dois iniciais.

Comutatividade da multiplicação de números naturais:

$x\times y={\begin{matrix}\underbrace {y+y+y+\cdots +y} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}$

$x\times y={\begin{matrix}\underbrace {y+y+y+\cdots +y} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}+x-x$

$=x+{\begin{matrix}\underbrace {(y-1)+(y-1)+\cdots +(y-1)} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}$

$=x+x+{\begin{matrix}\underbrace {(y-2)+(y-2)+\cdots +(y-2)} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}$

$={\begin{matrix}\underbrace {x+x+x+\cdots +x} \\{n}\\[-4ex]\end{matrix}}+{\begin{matrix}\underbrace {(y-n)+(y-n)+\cdots +(y-n)} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}$

Tomando $n=y,$ temos:

$={\begin{matrix}\underbrace {x+x+x+\cdots +x} \\{y}\\[-4ex]\end{matrix}}+{\begin{matrix}\underbrace {(y-y)+(y-y)+\cdots +(y-y)} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}$

$={\begin{matrix}\underbrace {x+x+x+\cdots +x} \\{y}\\[-4ex]\end{matrix}}$

$=y\times x$

Distributividade da multiplicação de números naturais:

$x\times (y+z)={\begin{matrix}\underbrace {(y+z)+(y+z)+\cdots +(y+z)} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}$

$={\begin{matrix}\underbrace {y+y+y+\cdots +y} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}+{\begin{matrix}\underbrace {z+z+z+\cdots +z} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}$

$=x\times y+x\times z$

Notação

A multiplicação pode ser escrita de várias formas equivalentes. Todas as formas abaixo significam "5 vezes 2":

$5\times 2$

$5\cdot 2$

$(5)2,\ 5(2),\ (5)(2),\ 5[2],\ [5]2,\ [5][2]$

$5*2$

O asterisco é usado frequentemente em computação pois é um símbolo existente em todos os tipos de teclado, mas não é usado quando se escreve matemática à mão (A origem desta notação vem da linguagem de programação FORTRAN.) Frequentemente a multiplicação esta implícita na notação. Isto é o padrão em Álgebra, onde se usa formas como:

$5x$ e $xy.$

O potencial de confusão que isto cria é grande, já que não podemos ter variáveis com mais de uma letra.

É possível se multiplicar um ou mais termos de uma vez. Se os termos não são escritos explicitamente, então o produto pode ser escrito com reticências ... para marcar os termos que estão subentendidos, como em outras operações em série na soma.

Desta forma, o produto de todos os números naturais de 1 a 100 pode ser escrito como $1\times 2\times \ldots \times 99\times 100$. Isto também pode ser escrito com as elipses (três pontinhos) no meio da linha e não embaixo, como ${\displaystyle 1\times 2\times \dots \times 99\times 100}$.

De forma alternativa, assim como na adição, o produto pode ser escrito usando-se um símbolo de produto chamado produtório Π, que é a letra pi maiúscula do alfabeto grego.

Isto é definido como:

$\prod _{i=m}^{n}x_{i}:=x_{m}\times x_{m+1}\times x_{m+2}\times \cdots \times x_{n-1}\times x_{n}$

O subscrito é uma variável muda ($i$ no nosso caso), o limite inferior é ($m$) e o limite superior é $n.$

Assim por exemplo:

$\prod _{i=2}^{6}\left(1+{1 \over i}\right)=\left(1+{1 \over 2}\right)\times \left(1+{1 \over 3}\right)\times \left(1+{1 \over 4}\right)\times \left(1+{1 \over 5}\right)\times \left(1+{1 \over 6}\right)={7 \over 2}$

Podemos também considerar um produto com um número infinito de termos; este é chamados de produto infinito. Apenas como notação, basta substituir n acima pelo símbolo para infinito ($\infty$). Matematicamente, o produtório é definido para séries infinitas como o limite do produto dos $n$ primeiros termos, quando $n$ cresce sem limite. Isto é:

$\prod _{i=m}^{\infty }x_{i}:=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}.$

Podemos de forma semelhante substituir $m$ por infinito negativo, e

$\prod _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}:=\left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=-n}^{m}x_{i}\right)\times \left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m+1}^{n}x_{i}\right)$

para algum inteiro $m,$ desde que o limite exista.

Indeterminações

Na multiplicação e divisão, existem 3 indeterminações:

• $(\pm {\infty })\div (\pm \infty )$
• $0\div 0$
• $0\times \infty$