Ação de grupo contínua

Uma ação contínua (AO 1945: acção), em topologia, de um grupo G num espaço topológico X é um homomorfismo de G no grupo dos homeomorfismos de X tal que a correspondente função $G\times X\to X$ é contínua.

Acção de um grupo topológico

Se G é um grupo topológico, uma acção de G sobre um espaço topológico X é uma aplicação contínua $\phi :G\times X\to X$ tal que:

i)$\phi (e,x)=x,\forall x\in X$

ii)$\phi (g,\phi (h,x))=\phi (gh,x),\forall g,h\in G,\forall x\in X$

Notação

Algumas notações são empregadas para representar a acção de G sobre X.

• g . x, sendo g elemento de G e x elemento de X
• $\phi (g)\,$ como sendo a função $\phi (g):X\to X\,$, definida por $\phi (g)(x)=\phi (g,x)\,$ (este tipo de transformação de uma função binária em uma função unária cujo resultado é outra função unária se chama currying).

Órbitas

A órbita de um elemento $x\,\!$ de $X\,\!$ é a classe de equivalência de $x\,\!$, com respeito à relação de equivalência $\sim$ determinada por $x\sim y$ se existir $g\in G$ tal que $y=g(x)\,\!$, onde $g(x)\,\!$ representa a imagem de $x\,\!$ pelo homeomorfismo de $X\,\!$ associado a $g\,\!$.

Quociente

O quociente de um espaço topológico X por um grupo G, que se representa por X/G, é o conjunto das órbitas, com a topologia quociente.

Exemplos

• A acção $\phi \,\!$ de $\mathbb {Z}$ sobre $\mathbb {R}$ definida por $\phi (n)(x)=x+n\,\!$ tem por quociente o círculo $\mathbb {S} ^{1}$.
• A acção $\phi \,\!$ de $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ sobre $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ definida por $\phi (m,n)(x)=(x+m,y+n)\,\!$ tem por quociente um toro.